2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 задача по основам топологии
Сообщение10.09.2021, 02:07 
Придумалась задача по топологии.

Все подмножества топологического пространства - либо открыты, либо замкнуты, причем и то и другое одновременно - только для двух тривиальных подмножеств. Обязательно ли найдется точка такая, что открытые множества - это в точности те, которые ее не содержат+все пространство?

 
 
 
 Re: задача по основам топологии
Сообщение10.09.2021, 09:35 
Аватара пользователя

(решение)

$X=\{x,y,z\}$, $\tau=\{\varnothing,\{x,y\},\{y\},\{y,z\},X\}$.
Ответ: неверно

 
 
 
 Re: задача по основам топологии
Сообщение10.09.2021, 12:18 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

vlad239 в сообщении #1531127 писал(а):
Все подмножества топологического пространства - либо открыты, либо замкнуты

Я слыхал, что пространство с таким свойством называется "дверь".

 
 
 
 Re: задача по основам топологии
Сообщение10.09.2021, 14:04 
Аватара пользователя
Напрашивается следующая модификация первоначальной задачи.

Все подмножества топологического пространства - либо открыты, либо замкнуты, причем и то и другое одновременно - только для двух тривиальных подмножеств. Обязательно ли найдется точка такая, что открытые множества - это либо в точности те, которые ее не содержат + все пространство, либо в точности те, которые её содержат + пустое множество?

Сходу ответа на этот вопрос не нашёл.

ИСН в сообщении #1531178 писал(а):
Я слыхал, что пространство с таким свойством называется "дверь".
Не "дверь", а "дверное пространство". "Двери" - это, типа, нетривиальные множества в нём: либо уж открыты, либо уж замкнуты.

 
 
 
 Re: задача по основам топологии
Сообщение10.09.2021, 15:59 
Аватара пользователя
Вроде, неглавный ультрафильтр над бесконечным множеством подходит (нужно ещё добавить пустое множество).

Для его существования нужна лемма Цорна.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group