2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение с опечаткой.
Сообщение25.08.2021, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Источник: В. В. Вавилов, И. И. Мельников, С. Н. Олехник, П. И. Пасиченко. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Москва, "Наука", 1987.

Надо сказать, что книга отличается громадным количеством опечаток как в заданиях, так и в ответах. Опечатка в задании может сделать его нерешаемым для школьника, но иногда получается просто существенно более сложная задача, которую "продвинутый" школьник может решить.

Также в книге используется очень сложная многоэтажная система нумерации заданий, вследствие чего поиск ответа требует определённых усилий.

Речь идёт о следующем задании: глава IV, § 1, упражнение 14, уравнение 21. $$(x-4)^3(x-5)^3+2(x-5)^3+(x-4)^3=0.$$

(Оффтоп)

После некоторых размышлений и проб я пришёл к выводу, что на самом деле имелось в виду гораздо более простое уравнение $$(x-4)^3(x-5)^3+2(x-5)^6-(x-4)^6=0.$$ Тем более, что оно имеет именно те корни, которые указаны в ответе.

(Оффтоп)

А уравнению 12 из того же упражнения не повезло. Оно имеет вид $$(x^2-16)(x-3)^2=9x^2$$ и по-школьному не решается. В ответе указаны корни $1\pm\sqrt{7}$.
В предшествующих примерах решается уравнение $$(2x^2-3x+1)(2x^2+5x+1)=9x^2$$ путём деления обеих частей на $x^2$ и заменой $2x+\frac 1x=y$, а также уравнение $$(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x^2,$$ которое приводится к виду $(x^2+14x+24)(x^2+11x+24)=4x^2$ и далее решается таким же способом.
В ответе, видимо, тоже опечатка, потому что мне не удалось подобрать уравнение, похожее на заданное и имеющее требуемые корни. Лучшее, что у меня получилось, это $$(x^2+16)(x-4)^2=9x^2.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение25.08.2021, 18:17 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Симпатичный пример и ответ к нему симпатичный. Глядишь, в этой книжке и найдутся "случайные" экзотические примеры уравнений 4-й степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение25.08.2021, 18:34 
Заблокирован


16/04/18

1129
Кстати, Альфа решает первое уравнение шестой степени "с опечаткой", находит явные корни. Два действительных, четыре комплексных. Значит, его можно на множители разложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение25.08.2021, 18:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Пример интересен тем, что вещественные корни уравнения 4-й степени выражаются через обычные (не вложенные) вещественные радикалы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение26.08.2021, 09:56 
Заблокирован


16/04/18

1129
nnosipov - Вы говорите про уравнения четвёртой степени, но ведь исходное шестой степени, что я недопонял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение26.08.2021, 09:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
novichok2018
Оно разлагается на квадратное (не имеющее вещественных корней) и вот то уравнение 4-й степени.

Если $x-5$ заменить на новое $x$, то уравнение будет таким: $x^4+2x^3+2x+1=0$. Здесь идеально работает метод Феррари: мы не просто находим корни, мы их находим в наипростейшей форме.

-- Чт авг 26, 2021 14:06:38 --

Как отделить квадратный сомножитель в уравнении $x^3(x+1)^3+2x^3+(x+1)^3=0$? Всякие кубы намекают на то, что в деле могут быть кубические корни из единицы $\varepsilon=-1/2 \pm i\sqrt{3}/2$. Осталось их наудачу подставить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение26.08.2021, 17:16 


07/06/13
23
Someone в сообщении #1529627 писал(а):
А уравнению 12 из того же упражнения не повезло. Оно имеет вид $$(x^2-16)(x-3)^2=9x^2$$ и по-школьному не решается. В ответе указаны корни $1\pm\sqrt{7}$.

Там, по-видимому, должно быть $$(x^2-16)(x+3)^2=-9x^2$$(чтобы корни совпадали),но по школьному это все-равно не решается (полином 4-й степени, конечно, факторизуется, поэтому наверное должно быть решение через какую-нибудь нетривиальную замену переменных, но очевидного решения я не вижу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение26.08.2021, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
dryabov в сообщении #1529718 писал(а):
Там, по-видимому, должно быть $$(x^2-16)(x+3)^2=-9x^2$$
Спасибо! Вот, до самого простого варианта не догадался. Но параграф, в котором это уравнение находится, называется "Линейные и квадратные уравнения". Какой способ сведения к квадратному уравнению имели в виду авторы, непонятно.

dryabov в сообщении #1529718 писал(а):
полином 4-й степени, конечно, факторизуется, поэтому наверное должно быть решение через какую-нибудь нетривиальную замену переменных, но очевидного решения я не вижу
В принципе, можно воспользоваться методом неопределённых коэффициентов, который рассматривается в следующем параграфе "Отыскание корней многочленов". Записываем равенство $$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+6x^3+2x^2-96x-144,$$ составляем систему уравнений $$\begin{cases}a+c=6,\\ ac+b+d=2,\\ ad+bc=-96,\\ bd=-144\end{cases}$$ и пытаемся подобрать целочисленное решение. Разумеется, гарантии существования такого решения нет.
Из последнего уравнения следует, что $b$ и $d$ — делители числа $-144$, которых $15$ пар, поскольку в силу симметрии можно считать, что $b<0$ и $d>0$.
Из первого и второго уравнений следует, что $a$ и $c$ — корни квадратного уравнения $z^2-6z+(2-b-d)=0$. Его дискриминант равен $\mathscr D=4(7+b+d)$. Он должен быть точным квадратом. Этому условию удовлетворяют две пары: $b=-6$, $d=24$ и $b=-16$, $d=9$.
Первая пара даёт решение системы $a=-2$, $b=-6$, $c=8$, $d=24$. Вторая пара даёт числа $a=3$, $b=-16$, $c=3$, $d=9$, которые не удовлетворяют третьему уравнению системы.
Но это всё заметно сложнее методов, рассматриваемых в первом параграфе.

nnosipov в сообщении #1529672 писал(а):
Как отделить квадратный сомножитель в уравнении $x^3(x+1)^3+2x^3+(x+1)^3=0$? Всякие кубы намекают на то, что в деле могут быть кубические корни из единицы $\varepsilon=-1/2 \pm i\sqrt{3}/2$. Осталось их наудачу подставить.
Я в исходном уравнении сразу ввёл переменную $y=\frac{(x-4)+(x-5)}2=x-\frac 92$ (такая рекомендация встречается в первом параграфе, правда, для уравнений типа $(x+3)^4+(x+4)^4=16$, но здесь она явно полезна для упрощения выражения $(x-4)^3(x-5)^3$), после раскрытия скобок сгруппировал отдельно члены с чётными степенями и члены с нечётными степенями: $$\left(y^6-\frac 34y^4-\frac{21}{16}y^2-\frac 9{64}\right)+3y\left(y^2+\frac 34\right)=0.$$ И догадался проверить, что первая скобка делится на вторую.
Получившееся в результате деления уравнение четвёртой степени легко решается методом Феррари (кубическая резольвента неожиданно очень хорошо сворачивается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение26.08.2021, 23:31 
Аватара пользователя


23/12/18
430
nnosipov в сообщении #1529672 писал(а):
$x^4+2x^3+2x+1=0$. Здесь идеально работает метод Феррари
Я подозреваю, что Вы знаете, но для таких симметричных уравнений есть стандартный школьный способ решения: делим всё на $x^2$ и вводим замену $x+1/x = t$ (можно не делить ни на что, но так более наглядно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение27.08.2021, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
xagiwo в сообщении #1529734 писал(а):
для таких симметричных уравнений есть стандартный школьный способ решения
Кстати, да! Уравнение
nnosipov в сообщении #1529672 писал(а):
$x^3(x+1)^3+2x^3+(x+1)^3=0$
тоже симметричное. И сводится таким путём к уравнению третьей степени, один из корней которого равен $-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение27.08.2021, 08:18 
Заблокирован


16/04/18

1129
Разве симметричное? И минус один - это корень?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение27.08.2021, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
novichok2018 в сообщении #1529745 писал(а):
Разве симметричное?
Если раскрыть скобки и привести подобные члены, получим уравнение $$x^6+3x^5+3x^4+4x^3+3x^2+3x+1=0.$$
novichok2018 в сообщении #1529745 писал(а):
И минус один - это корень?
Если разделить это уравнение на $x^3$ и ввести новую переменную $t=x+\frac 1x$, то получим уравнение $$t^3+3t^2-2=0,$$ один из корней которого равен $-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение27.08.2021, 16:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xagiwo в сообщении #1529734 писал(а):
но для таких симметричных уравнений
Я не заметил, что оно симметричное (возвратное) :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение09.12.2021, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Прошу прощения за подъём темы более чем трёхмесячной давности, но, может быть, кому-нибудь будет интересно.

dryabov в сообщении #1529718 писал(а):
Там, по-видимому, должно быть $$(x^2-16)(x+3)^2=-9x^2$$(чтобы корни совпадали),но по школьному это все-равно не решается (полином 4-й степени, конечно, факторизуется, поэтому наверное должно быть решение через какую-нибудь нетривиальную замену переменных, но очевидного решения я не вижу).
Someone в сообщении #1529730 писал(а):
Вот, до самого простого варианта не догадался. Но параграф, в котором это уравнение находится, называется "Линейные и квадратные уравнения". Какой способ сведения к квадратному уравнению имели в виду авторы, непонятно.
В общем, я сегодня ещё раз глянул на это уравнение, и у меня возникла хорошая идея. Очевидно, $x=-3$ корнем не является. Разделим обе части уравнения на $(x+3)^2$ и перепишем его в виде $$x^2+\frac{9x^2}{(x+3)^2}=16.$$ Слева стоит сумма квадратов, которую можно дополнить до квадрата суммы или разности. Удачным оказывается квадрат разности: $$x^2-2x\cdot\frac{3x}{x+3}+\frac{(3x)^2}{(x-3)^2}+\frac{6x^2}{x+3}=16,$$ $$\left(x-\frac{3x}{x+3}\right)^2+\frac{6x^2}{x+3}=16,$$ $$\left(\frac{x^2}{x+3}\right)^2+6\cdot\frac{x^2}{x+3}-16=0,$$ и видим замену $\frac{x^2}{x+3}=t$, приводящую уравнение к квадратному.

Всё бы хорошо, и использованный метод дополнения до полного квадрата в книге объясняется, но… на два параграфа дальше (задача находится в § 1, а описание метода на примере уравнения $x^2+\left(\frac x{x-1}\right)^2=8$ — в § 3).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с опечаткой.
Сообщение10.12.2021, 15:56 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Какие-то очень искусственные рассуждения. Как распознать по данному уравнению 4-й степени, что при некоторой специальной замене неизвестного оно сведется к квадратному уравнению? Это само по себе является нетривиальной задачей. Между тем, стандартный метод решения работает и в данном случае.

Похоже на какое-то шаманство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group