Знак дискриминанта

[EminentVictorians]

nnosipov в сообщении #1518531 писал(а):

Подойдите к этому вопросу творчески: выразите сумму попарных произведений корней через что-то, про что будет очевидно, что оно есть вещественное число.

$(c_1c_2 + ... +c_1c_n+ ... + c_{n-1}c_n)$ это значение элементарного симметрического многочлена $\sigma_2$ в точке $(c_1, ... ,c_n)$. Больше ничего не вижу.

nnosipov в сообщении #1518531 писал(а):

Да, мы же с Вами уже разбирали основную теорему о симметрических многочленах?

Это да.

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1518534 писал(а):

Больше ничего не вижу.

Тогда рассмотрим так называемые степенные суммы корней $p_k(c_1,\dots,c_n)=c_1^k+\ldots+c_n^k$ ($k=1,2,\dots$). По-моему, очевидно, что все они суть вещественные числа. По основной теореме каждая из степенных сумм выражается через элементарные симметрические многочлены от корней, которые, собственно, нас и интересуют. Попробуйте за это зацепиться (нельзя ли, наоборот, выразить элементарные симметрические многочлены через степенные суммы? если да, то дело сделано).

[mihaild]

А не проще сразу расписать значение многочлена и воспользоваться тем, что $\overline{c_i} = c_{\sigma(i)}$ для какой-то перестановки $\sigma$?

[nnosipov]

mihaild
Да, Вы правы, конечно, это я затупил. Ведь элементарные симметрические многочлены являются (вот уж неожиданность!) симметрическими многочленами.

Но нет худа без добра: надеюсь, ТС, идя по этому более длинному пути, заодно и формулы Ньютона посмотрит, авось и пригодятся когда-нибудь.

[EminentVictorians]

nnosipov в сообщении #1518535 писал(а):

(нельзя ли, наоборот, выразить элементарные симметрические многочлены через степенные суммы? если да, то дело сделано).

А это правда можно сделать? Просто я этого в книге не видел, а сам факт выглядит довольно сильно.

mihaild в сообщении #1518538 писал(а):

А не проще сразу расписать значение многочлена и воспользоваться тем, что $\overline{c_i} = c_{\sigma(i)}$ для какой-то перестановки $\sigma$?

Это тоже в первый раз вижу (и не очень до конца понимаю, что тут конкретно утверждается, честно говоря)

-- 14.05.2021, 19:26 --

nnosipov в сообщении #1518561 писал(а):

формулы Ньютона

Нашел в википедии статью о формулах Ньютона-Жирара, понравилось, но для меня сложновато пока что. Оставлю на будущее.

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1518563 писал(а):

А это правда можно сделать?

Можно, во всяком случае над полем нулевой характеристики. А следует это из формул Ньютона.

-- Пт май 14, 2021 23:40:37 --

EminentVictorians в сообщении #1518563 писал(а):

и не очень до конца понимаю, что тут конкретно утверждается, честно говоря

Выпишем все корни в строчку, а потом сопряжем их. Что произойдет? Ответ: произойдет некоторая перестановка этих корней.