2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Знак дискриминанта
Сообщение09.05.2021, 16:50 


22/10/20
1050
Дан произвольный многочлен $\varphi = a_nx^n+ ... +a_1x + a_0$, $\varphi \in \mathbb{C}[x]$, $a_0, ... , a_n \in \mathbb{R}$, не имеющий кратных комплексных (т.е. в том числе и действительных) корней. Надо доказать, что знак дискриминанта $sign D(\varphi) = (-1)^t$, где $t$ - число пар комплексно-сопряженных мнимых корней этого многочлена.

Я доказывал следующим образом.

Представим корни многочлена $\varphi$ на комплексной плоскости и пронумеруем их "слева направо - от центра к периферии", т.е. если один корень находится левее другого, то и его номер меньше номера этого другого; если один корень находится ближе к вещественной оси, чем другой, то его номер меньше (т.е. нумерация идет от вещественной оси). Комплексно сопряженные пары нумеруются подряд (сначала нижний корень, затем верхний). А далее надо рассматривать кучу вариантов. Сначала я рассмотрел вариант 1 вещественного корня $a$ и 2-ух число мнимых $b + ci$ и $b - ci$. Выражение $(a - (b - ci))^2(a - (b + ci))^2$ всегда больше нуля. Далее понятно, что выражение $(a - d)^2$ (где $d$ - отличный от $a$ комплексный корень, расположенный правее $a$) тоже, очевидно, положительное. Иными словами, если посмотреть на дискриминант (как на произведение квадратов понятно каких скобок), то серия, начинающаяся с вещественного числа $a$ будет вся положительная. Далее я рассматривал ситуации, стартуя с пары чисто мнимых корней, ближайшей к вещественной оси. Там тоже все по итогу нормально перемножилось (хоть и не так просто как в предыдущей серии; там надо было группировать скобки не в их естественном порядке, в котором они идут в дискриминанте, а парами, так, чтобы получалась разность квадратов) и получилось положительное число. Ну и единственный вариант, когда получается что-то отрицательное, это когда из нижнего комплексно сопряженного вычитаем верхнее комплексно-сопряженное: $((a - bi) - (a + bi))^2 = (-2bi)^2 = -4b^2 < 0$. Таким образом, число отрицательных скобок в произведении дискриминанта равняется числу пар комплексно сопряженных мнимых корней и теорема доказана.

Но если это все аккуратно расписывать, то получается довольно муторно и долго. Может быть есть какое-нибудь нормальное доказательство этого факта без перебора такого числа вариантов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение09.05.2021, 17:17 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
EminentVictorians в сообщении #1517784 писал(а):
Может быть есть какое-нибудь нормальное доказательство этого факта без перебора такого числа вариантов?
Ну, не знаю. По-моему, задача легко решается в уме. Пусть комплексные корни --- это $z_1,\dots,z_n$ и сопряженные к ним $\overline{z_1},\dots,\overline{z_n}$. Есть три типа скобок: $(z_i-z_j)^2$, $(\overline{z_i}-\overline{z_j})^2$ и $(z_i-\overline{z_j})^2$. С первыми двумя типами ясно, а при перемножении скобок третьего типа надо различать случаи $i=j$ (вот здесь как раз получим $(-1)^n$) и $i \neq j$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение09.05.2021, 17:42 


22/10/20
1050
nnosipov в сообщении #1517786 писал(а):
С первыми двумя типами ясно
Как-то не очень, честно говоря. У меня просто почти нету опыта работы с комплексными числами. Вот смотрю я на скобку $(z_i-z_j)^2$ и вижу просто некий квадрат комплексного числа. Это же просто комплексное число, которое не обязано быть действительным. Отношение порядка к нему не применимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение09.05.2021, 18:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
EminentVictorians в сообщении #1517793 писал(а):
Вот смотрю я на скобку $(z_i-z_j)^2$ и вижу просто некий квадрат комплексного числа.
Но Вы умножите $(z_i-z_j)^2$ на $(\overline{z_i}-\overline{z_j})^2$ и получите что-то положительное. Т.е. перемножение скобок первых двух типов даст положительное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение09.05.2021, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
При добавлении в произведение корня $Z$ вот такие
$(Z-z_j)^2(\overline{Z}-\overline{z_j})^2({Z}-\overline{z_j})^2(\overline{Z}-{z_j})^2$
знака не дадут.

А вот такие $(\overline{Z}-{Z})^2$
знак дадут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение09.05.2021, 18:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #1517800 писал(а):
А вот такие $(\overline{Z}-{Z})^2$
знак дадут.
Вспомнилось: "Разве "Нимфа", туды ее в качель, кисть дает?" :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение12.05.2021, 18:24 


22/10/20
1050
nnosipov в сообщении #1517786 писал(а):
С первыми двумя типами ясно
С этим разобрался.
nnosipov в сообщении #1517786 писал(а):
а при перемножении скобок третьего типа надо различать случаи $i=j$ (вот здесь как раз получим $(-1)^n$) и $i \neq j$.
А вот это сложнее. Я понимаю, что $(z_i-\overline{z_i})^2 < 0$, но есть же еще и другие скобки вида $(z_i-\overline{z_j})^2$ (где $i \ne j$). Я не знаю, как доказать, что произведение их всех будет положительным.
nnosipov в сообщении #1517786 писал(а):
Пусть комплексные корни --- это $z_1,\dots,z_n$ и сопряженные к ним $\overline{z_1},\dots,\overline{z_n}$.
А действительные корни? С ними тоже ведь будут комбинации.

-- 12.05.2021, 19:16 --

А, кажется дошло. Любой скобке $(z_i-\overline{z_j})^2$ можно поставить в соответствие скобку $(z_j-\overline{z_i})^2$, причем данное соответствие является биекцией. При перемножении этих двух скобок получится положительное число, а значит все эти скобки благополучно перемножатся во что-то положительное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение12.05.2021, 19:19 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
EminentVictorians в сообщении #1518300 писал(а):
А, кажется дошло.
Да, так и есть.

Ну и с добавочными действительными тоже разберетесь, там не сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение12.05.2021, 19:20 


22/10/20
1050
А с действительными корнями абсолютно аналогично. Блин, здорово! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение13.05.2021, 17:01 


22/10/20
1050
EminentVictorians в сообщении #1517784 писал(а):
$a_0, ... , a_n \in \mathbb{R}$
Вот это условие вроде бы лишнее. Достаточно потребовать, чтобы только старший коэффициент был вещественным, а остальные могут быть какими угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение13.05.2021, 17:30 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
EminentVictorians в сообщении #1518444 писал(а):
а остальные могут быть какими угодно
Если у многочлена корни такие, как указано в задаче, то все остальные коэффициенты тоже обязаны быть вещественными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение13.05.2021, 23:03 


22/10/20
1050
nnosipov в сообщении #1518450 писал(а):
Если у многочлена корни такие, как указано в задаче, то все остальные коэффициенты тоже обязаны быть вещественными.
Как-то не получается это доказать. Можно узнать, почему это верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение14.05.2021, 03:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
EminentVictorians в сообщении #1518491 писал(а):
Можно узнать, почему это верно?
Есть же формулы Виета.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение14.05.2021, 12:57 


22/10/20
1050
nnosipov в сообщении #1518502 писал(а):
Есть же формулы Виета.
Я понимаю, почему $a_{n-1} \in \mathbb{R}$ (т.к. $a_{n-1} = -a_n(c_1 + ... + c_n)$, а сумма $(c_1 + ... + c_n)$ вещественная). Но почему, например, $a_{n-2} \in \mathbb{R}$? $a_{n-2} = a_n(c_1c_2 + ... +c_1c_n+ ... + c_{n-1}c_n)$. В скобках какое-то комплексное число, почему оно должно быть обязательно действительным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дискриминанта
Сообщение14.05.2021, 13:25 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
EminentVictorians в сообщении #1518528 писал(а):
$a_{n-2} = a_n(c_1c_2 + ... +c_1c_n+ ... + c_{n-1}c_n)$. В скобках какое-то комплексное число, почему оно должно быть обязательно действительным?
Подойдите к этому вопросу творчески: выразите сумму попарных произведений корней через что-то, про что будет очевидно, что оно есть вещественное число. (Если сами не сообразите, через что нужно выразить, тогда еще подскажу.)

Да, мы же с Вами уже разбирали основную теорему о симметрических многочленах?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group