Дан произвольный многочлен

,
![$\varphi \in \mathbb{C}[x]$ $\varphi \in \mathbb{C}[x]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/f/8af755152985e3402c8e7d530a42592182.png)
,

, не имеющий кратных комплексных (т.е. в том числе и действительных) корней. Надо доказать, что знак дискриминанта

, где

- число пар комплексно-сопряженных мнимых корней этого многочлена.
Я доказывал следующим образом.
Представим корни многочлена

на комплексной плоскости и пронумеруем их "слева направо - от центра к периферии", т.е. если один корень находится левее другого, то и его номер меньше номера этого другого; если один корень находится ближе к вещественной оси, чем другой, то его номер меньше (т.е. нумерация идет от вещественной оси). Комплексно сопряженные пары нумеруются подряд (сначала нижний корень, затем верхний). А далее надо рассматривать кучу вариантов. Сначала я рассмотрел вариант 1 вещественного корня

и 2-ух число мнимых

и

. Выражение

всегда больше нуля. Далее понятно, что выражение

(где

- отличный от

комплексный корень, расположенный правее

) тоже, очевидно, положительное. Иными словами, если посмотреть на дискриминант (как на произведение квадратов понятно каких скобок), то серия, начинающаяся с вещественного числа

будет вся положительная. Далее я рассматривал ситуации, стартуя с пары чисто мнимых корней, ближайшей к вещественной оси. Там тоже все по итогу нормально перемножилось (хоть и не так просто как в предыдущей серии; там надо было группировать скобки не в их естественном порядке, в котором они идут в дискриминанте, а парами, так, чтобы получалась разность квадратов) и получилось положительное число. Ну и единственный вариант, когда получается что-то отрицательное, это когда из нижнего комплексно сопряженного вычитаем верхнее комплексно-сопряженное:

. Таким образом, число отрицательных скобок в произведении дискриминанта равняется числу пар комплексно сопряженных мнимых корней и теорема доказана.
Но если это все аккуратно расписывать, то получается довольно муторно и долго. Может быть есть какое-нибудь нормальное доказательство этого факта без перебора такого числа вариантов?