2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Inequality No2
Сообщение13.04.2021, 09:26 
Find minimum value of
$\sqrt{x^{2}+(20-y)^{2}}+\sqrt{y^{2}+(21-z)^{2}}+\sqrt{z^{2}+(20-w)^{2}}+\sqrt{w^{2}+(21-x)^{2}}.$

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение13.04.2021, 14:53 
Аватара пользователя
$\sqrt{x^{2}+(20-y)^{2}}+\sqrt{w^{2}+(21-x)^{2}}$ минимизируем в $\sqrt{21^{2}+(|20-y|+|w|)^{2}}$ и т.д.

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение13.04.2021, 15:40 
Аватара пользователя
Можно применить неравенство ломаной в ломаной, проведённой через $(0;0), (x; 20-y), (x + 21 - z; 20), (x + 21; 40 - w), (42; 40)$

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение16.04.2021, 20:57 
Из неравенства для ломаной получается: $x=z=10.5, y=w=10$.

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение17.04.2021, 08:05 
Применим неравенство между средними квадратичным и арифметическим:
$$
\sqrt{x^2+(20-y)^2} \geq \frac{1}{\sqrt 2} (x+20-y).
$$
Получим для исходной суммы снизу $S \geq \frac{82}{\sqrt 2}$. Условия равенства - это система 4 уравнений вида
$x=20-y$. Она разрешима. Значит это минимум.

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение17.04.2021, 09:33 
Приходится исправляться: система на равенства кажется противоречивая. Значит это только оценка снизу, но не минимум.

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение17.04.2021, 17:16 
mihiv в сообщении #1514640 писал(а):
Из неравенства для ломаной получается: $x=z=10.5, y=w=10$.

Если вот тут лезть напролом и делать замену $x=\xi+10.5, y=\eta-10, z=\zeta+10.5, w=\upsilon-10, f=\varphi+58$, то можно получить функцию с нулевыми частными производными в центре координат 5-мерного пространства $(\xi, \eta, \zeta, \upsilon, \varphi)$, и если ряд Тейлора посмотреть, то локальный минимум.

Но это все еще тоже оценка, только сверху. Разница, кстати, всего лишь в две сотых.

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение17.04.2021, 20:58 
mihiv в сообщении #1514640 писал(а):
Из неравенства для ломаной получается: $x=z=10.5, y=w=10$.

Здесь должно быть:$x=z, y=w$ , где $x,y>0, 20x+21y=420$(значения 10.5 и 10 тоже удовлетворяют этому условию). То, что при этом получается минимум, следует из геометрической интерпретации этого минимального значения как длины отрезка, соединяющего концы ломаной, построенной xagiwo.

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение18.04.2021, 07:13 
Аватара пользователя
rsoldo в сообщении #1514087 писал(а):
Find minimum value of
$\sqrt{x^{2}+(20-y)^{2}}+\sqrt{y^{2}+(21-z)^{2}}+\sqrt{z^{2}+(20-w)^{2}}+\sqrt{w^{2}+(21-x)^{2}}.$
Вася Ломаный, стартовав со стороны прямоугольника $21$ на $20$, побывал на каждой стороне и вернулся в точку старта. Каков наименьший пройденный путь? Зависит ли он от точки старта?

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение18.04.2021, 12:47 
То есть фактически это задача Фаньяно для прямоугольника, задача 15 из книги Протасова?
Её решение известно?

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение18.04.2021, 13:41 
Аватара пользователя
novichok2018 в сообщении #1514896 писал(а):
То есть фактически это задача Фаньяно для прямоугольника, задача 15 из книги Протасова?
А какая там задача?

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение18.04.2021, 16:05 
Страница 7: 15. Исследуйте задачу Фаньяно для четырёхугольника. Для каких четырёхугольников вписанный четырёхугольник минимального периметра существует? Будет ли он единственным?

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение18.04.2021, 16:25 
Аватара пользователя
novichok2018 в сообщении #1514921 писал(а):
Страница 7: 15. Исследуйте задачу Фаньяно для четырёхугольника. Для каких четырёхугольников вписанный четырёхугольник минимального периметра существует? Будет ли он единственным?
Для здешней задачи выше уже сказано, что вписанный четырёхугольник минимального периметра существует, что таких четырехугольников целое семейство. В чем вопрос?

 
 
 
 Re: Inequality No2
Сообщение19.04.2021, 08:38 
TOTAL в сообщении #1514873 писал(а):
Вася Ломаный, стартовав со стороны прямоугольника $21$ на $20$, побывал на каждой стороне и вернулся в точку старта. Каков наименьший пройденный путь? Зависит ли он от точки старта?

Так задача выглядит гораздо понятнее.
Путь наименьшей длины - параллелограмм со сторонами параллельными диагоналям прямоугольника (зеркальное отражение на стенках). Минимум равен двойной длине диагонали прямоугольника (58). Длина пути не зависит от точки старта.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group