Inequality No2

[rsoldo]

Find minimum value of
$\sqrt{x^{2}+(20-y)^{2}}+\sqrt{y^{2}+(21-z)^{2}}+\sqrt{z^{2}+(20-w)^{2}}+\sqrt{w^{2}+(21-x)^{2}}.$

[TOTAL]

$\sqrt{x^{2}+(20-y)^{2}}+\sqrt{w^{2}+(21-x)^{2}}$ минимизируем в $\sqrt{21^{2}+(|20-y|+|w|)^{2}}$ и т.д.

[xagiwo]

Можно применить неравенство ломаной в ломаной, проведённой через $(0;0), (x; 20-y), (x + 21 - z; 20), (x + 21; 40 - w), (42; 40)$

[mihiv]

Из неравенства для ломаной получается: $x=z=10.5, y=w=10$.

[novichok2018]

Применим неравенство между средними квадратичным и арифметическим:

$$ \sqrt{x^2+(20-y)^2} \geq \frac{1}{\sqrt 2} (x+20-y). $$

Получим для исходной суммы снизу $S \geq \frac{82}{\sqrt 2}$. Условия равенства - это система 4 уравнений вида
$x=20-y$. Она разрешима. Значит это минимум.

[novichok2018]

Приходится исправляться: система на равенства кажется противоречивая. Значит это только оценка снизу, но не минимум.

[Dendr]

mihiv в сообщении #1514640 писал(а):

Из неравенства для ломаной получается: $x=z=10.5, y=w=10$.

Если вот тут лезть напролом и делать замену $x=\xi+10.5, y=\eta-10, z=\zeta+10.5, w=\upsilon-10, f=\varphi+58$, то можно получить функцию с нулевыми частными производными в центре координат 5-мерного пространства $(\xi, \eta, \zeta, \upsilon, \varphi)$, и если ряд Тейлора посмотреть, то локальный минимум.

Но это все еще тоже оценка, только сверху. Разница, кстати, всего лишь в две сотых.

[mihiv]

mihiv в сообщении #1514640 писал(а):

Из неравенства для ломаной получается: $x=z=10.5, y=w=10$.

Здесь должно быть:$x=z, y=w$ , где $x,y>0, 20x+21y=420$(значения 10.5 и 10 тоже удовлетворяют этому условию). То, что при этом получается минимум, следует из геометрической интерпретации этого минимального значения как длины отрезка, соединяющего концы ломаной, построенной xagiwo.

[TOTAL]

rsoldo в сообщении #1514087 писал(а):

Find minimum value of
$\sqrt{x^{2}+(20-y)^{2}}+\sqrt{y^{2}+(21-z)^{2}}+\sqrt{z^{2}+(20-w)^{2}}+\sqrt{w^{2}+(21-x)^{2}}.$

Вася Ломаный, стартовав со стороны прямоугольника $21$ на $20$, побывал на каждой стороне и вернулся в точку старта. Каков наименьший пройденный путь? Зависит ли он от точки старта?

[novichok2018]

То есть фактически это задача Фаньяно для прямоугольника, задача 15 из книги Протасова?
Её решение известно?

[TOTAL]

novichok2018 в сообщении #1514896 писал(а):

То есть фактически это задача Фаньяно для прямоугольника, задача 15 из книги Протасова?

А какая там задача?

[novichok2018]

Страница 7: 15. Исследуйте задачу Фаньяно для четырёхугольника. Для каких четырёхугольников вписанный четырёхугольник минимального периметра существует? Будет ли он единственным?

[TOTAL]

novichok2018 в сообщении #1514921 писал(а):

Страница 7: 15. Исследуйте задачу Фаньяно для четырёхугольника. Для каких четырёхугольников вписанный четырёхугольник минимального периметра существует? Будет ли он единственным?

Для здешней задачи выше уже сказано, что вписанный четырёхугольник минимального периметра существует, что таких четырехугольников целое семейство. В чем вопрос?

[mihiv]

TOTAL в сообщении #1514873 писал(а):

Вася Ломаный, стартовав со стороны прямоугольника $21$ на $20$, побывал на каждой стороне и вернулся в точку старта. Каков наименьший пройденный путь? Зависит ли он от точки старта?

Так задача выглядит гораздо понятнее.
Путь наименьшей длины - параллелограмм со сторонами параллельными диагоналям прямоугольника (зеркальное отражение на стенках). Минимум равен двойной длине диагонали прямоугольника (58). Длина пути не зависит от точки старта.