Космический мусор

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1511005 писал(а):

а также что такое "какое-то непродолжительное время".

ИМХО, тут понятно. Этим условием исключается синхронизация близких периодов на многом количестве оборотов и встреча в точке выброса мусора.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1511005 писал(а):

Хотя да, интуитивно кажется, что прибавка в площади на дальней полупетле будет заметно больше,

Дальняя полупетля точно не подходит.
Фокальный параметр сохранился, а эксцентриситет увеличился, значит большая полуось увеличилась ($a = \frac{p}{1-e^2}$), значит период увеличился. Кроме того, площадь "верхней" части эллипса, отсекаемой прямой, проходящей через точки пересечения орбит. больше половины площади эллипса. То есть из "части, больше половины, от большего периода" никак не получится половина исходного периода.

Во сути один возможный вариант остался из шести - бросок в сторону центра Земли. А вот попадет в этом случае или нет - это уже считать надо. Если есть известная формула для расчета площади (доли площади) части, которую отсекает от эллипса прямая проходящая через фокус перпендикулярно большой оси, то можно посчитать быстро.

-- 25.03.2021, 13:32 --

Посчитал вариант для броска к Земле. Время прохождения по нижней ветке получилось с точностью до квадратичного члена по эксцентриситету так:

$t_{d} = T_1 (\frac{1}{2} - \frac{2}{\pi}e + \frac{3}{4}e^2)$

Где $T_1$ - исходный период.

линейный член как бы намекает, что не попадаем.

Можно, конечно, вернуться к рассмотрению броска перпендикулярно скорости в плоскости, касательной к орбите.
Тогда добавка скорости относительно небольшая и перпендикулярно орбите. То есть можно (наверное?) считать, что модуль скорости не изменился, а просто повернулась орбита. Тогда (вроде как?) попадаем в точку сброса через полный виток.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1511046 писал(а):

Во сути один возможный вариант остался из шести - бросок в сторону центра Земли. А вот попадет в этом случае или нет - это уже считать надо.

По аналогии с предыдущим абзацем: площадь ближней полупетли очевидно меньше площади полукруга, момент импульса такой же, как на исходной орбите - мусор обгонит станцию.

EUgeneUS в сообщении #1511046 писал(а):

Можно, конечно, вернуться к рассмотрению броска перпендикулярно скорости в плоскости, касательной к орбите.
Тогда добавка скорости относительно небольшая и перпендикулярно орбите.

Добавка скорости при броске перпендикулярно орбите в точности такая же, как при броске вдоль радиуса. Следовательно, время оборота (которое зависит только от полной энергии) тоже будет таким же. Но, как выше уже писали, в этом случае будет только одна точка пересечения с исходной орбитой - шансов встретиться через полвитка нет.

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #1511069 писал(а):

время оборота (которое зависит только от полной энергии)

Кеплер с Вами не согласен: период зависит от большой полуоси. Даже если орбита станции круговая, орбита мусора будет эллиптической

[amon]

Red_Herring в сообщении #1511075 писал(а):

Даже если орбита станции круговая, орбита мусора будет эллиптической

Как учил Арнольд, при малом эксцентриситете сдвиг центра орбиты величина первого порядка по эксцентриситету, а различие полуосей - второго. Поэтому в первом приближении можно считать орбиту мусора круговой со сдвинутым центром. См. Арнольд, "Математические методы классической механики" параграф 8Д главы 2 ("Задача Кеплера") и задачку к нему.

[Sender]

Red_Herring в сообщении #1511075 писал(а):

Кеплер с Вами не согласен: период зависит от большой полуоси.

Но ведь здесь нет противоречия.

[fred1996]

Собственно, я не встревал в обсуждения, поскольку сам какое-то время до вас повозился с этой задачкой и не хотел портить свежего восприятия. Сам я ранее прошёл через все заблуждения и маленькие открытия здесь перечисленные. В общем для меня было сюрпризом встретить такую задачку практически на районной олимпиаде. И думаю, что для полноценного Ее разрешения требуется поболее полутора минут. Хотя, угадать ответ из пяти наверное можно.

DimaM

(Оффтоп)

только сейчас сообразил, что ТС - это транспортный цех

[DimaM]

Red_Herring в сообщении #1511075 писал(а):

Кеплер с Вами не согласен: период зависит от большой полуоси.

А большая полуось зависит только от энергии

-- 26.03.2021, 10:11 --

fred1996 в сообщении #1511193 писал(а):

Собственно, я не встревал в обсуждения, поскольку сам какое-то время до вас повозился с этой задачкой и не хотел портить свежего восприятия.

Думаю, уже пора выставить ответ, который составители задачи считают правильным.

[eugensk]

До меня только дошло, что отправить мусор к Земле или от неё даст одну и ту же орбиту с точностью до направления: эллипс пересекающий исходную окружность в 4 точках. Наверное, точки пересечения отстоят друг от друга на равном расстоянии, так как эллипс мало отличается от окружности, то есть точки отстоят на четверть оборота. Если мусор летит ниже круговой орбиты, он движется быстрее, если выше то медленнее, причем значительно, за падение высоты на 1 метр скорость увеличится на 4,5 м/c (спутник как водится летит на уровне моря), за четверть периода наберется большая разница. В общем, моя интуиция была неправильная.

Может, посчитать? В цифрах увидеть судьбы приговор, так сказать.

[EUgeneUS]

eugensk в сообщении #1511208 писал(а):

До меня только дошло, что отправить мусор к Земле или от неё даст одну и ту же орбиту с точностью до направления: эллипс пересекающий исходную окружность в 4 точках.

Так не бывает. Будут 2 точки пересечения.

Точного попадания не будет ни в одном случае. Это разобрали выше. Но может быть мусор в каких-то случаях попадет на станцию? МКС ведь большая. Поэтому нужно:

eugensk в сообщении #1511208 писал(а):

Может, посчитать? В цифрах увидеть судьбы приговор, так сказать.

Итак.
1. Период от энергии: $T = 2 \pi G M (\frac{m}{-2E})^{\frac{3}{2}}$
2. Изменение энергии небольшое относительно модуля полной энергии и равно $\frac{v^2}{2}$ для броска поперёк орбитального движения. $v$ - добавочная скорость.
3. Тогда после простых преобразований: $\Delta T = T \frac{3}{2} \frac{v^2}{V^2}$, где $V$ - скорость орбитального движения по круговой начальной орбите.
4. Для заданного в условии $v = 10$ метров в секунду, оценка $\Delta T$ у меня получилась порядка одной десятитысячной секунды.
5. МКС за это время сместится на десятые доли метра, может на единицы метров. Что меньше размера станции.
6. Вывод: если бросать поперек орбитального движения (точное направление неважно, главное, чтобы вектор добавочной скорости лежал в плоскости, перпендикулярной скорости орбитального движения), то на следующем обороте мусор легко может попасть в станцию.

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #1511202 писал(а):

А большая полуось зависит только от энерги

Согласен.

[fred1996]

DimaM
Собственно ответ и был таков, что поскольку $E=-G\frac{mM}{2a}$, во всех случаях кроме вперёд-назад изменение энергии второго порядка малости по изменению скорости. Поэтому через один виток (имелась ввиду эта малость) мусор столкнётся со станцией. Ну а вперёд-назад я добавил для полноты картины. Это уже будет первый порядок малости. Что даст изменение периода на несколько секунд. И столкновения не произойдёт. Ну а если в числах, то если скорость станции $v$, а радиус круговой орбиты $r$, то выбрасывание мусора перпендикулярно движению станции со скоростью $\alpha v$ в любом направлении даёт значение для перигея $\frac{r}{1+\alpha}$ и для апогея $\frac{r}{1-\alpha}$ и соответственно для большой полуоси $\frac{r}{1-\alpha^2}$

[Red_Herring]

Заключение верно, но все же разные перпендикулярные направления дают разные ответы. Действительно, перигей и апогей являются корнями уравнения

$$ \frac{M^2}{2r^2} - \frac{1}{r}=E\iff 2Er^2 + 2r -M^2=0 $$

где $M$ угловой момдент, $E$ энергия; для станции $M=-2E=1$, а для мусора брошенного перпендикулярно $E=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{u^2}{2}$. Тогда $r_1+r_2= -\dfrac{1}{E}=\dfrac{2}{1-u^2}$,

$$ (r_1-r_2)= \sqrt{\frac{1}{E^2}+\frac{2M^2}{E}}=\left\{\begin{aligned} &\frac{2u }{ 1-u^2 } && \text{при броске по радиусу}: &&M^2=1,\\ &\frac{2u^2}{ 1-u^2} && \text{при броске в стороны}: &&M^2=1+u^2. \end{aligned}\right $$

[fred1996]

Собственно, саму формулировку задачи под номером 7 можно найти в этом файле:
https://aapt.org/physicsteam/2020/uploa ... ons_v2.pdf
К сожалению там сразу даны ответы серым. А файла без ответов я не нашёл.
Заодно можно попрактиковаться в первом туре этой всеамериканской олимпиады.

(Про американские олимпиады)

Обычно надо решить (угадать) 16-17 правильных ответов, чтобы пройти во второй (финальный) тур, где участвует около 500 школьников.
Прошу прощения, я неправильно указал время на 25 задач. Это 75 минут. То есть в среднем 3 минуты на задачу. Как видно, в первый тур включаются только задачи по механике плюс теория ошибок.
Во втором же туре задачи уже из всех разделов: механика, термо, E&M, оптика, основы квантов и СТО.
А 45 минут даётся на 40 задач в другой международной олимпиаде PhysicsBowl, которая носит скорее командный характер, хотя личный зачёт тоже учитывается. Там принимаю участие ведущие школы и учебные центры США, Канады, Великобритании, Китая и ряда других стран ЮВ Азии.
Задачки тоже из всех разделов.
Честно говоря я даже не знаю, как американцы учить физику в школе после механики. Механику они все проходят, а остальные разделы скорее всего по желанию. По крайней мере если ко мне они приходят с некоторым знанием механики, то знания по другим разделам у них практически нулевые. Поэтому подготовка ко второму туру или международной олимпиаде носит нетривиальный характер. Времени на изучение теории практически нет. Приходится решать задачи прямо по живому. Ну а с механикой все просто. Решаем подряд все задачи из предыдущих лет (2007-2020). Этого за глаза хватает чтобы научить даже труп.

[EUgeneUS]

Посмотрел авторское решение.

Н-да. С таким решением:

Цитата:

....
The astronaut’s throw has a negligible impact on the total energy of the trash, and hence a negligible impact on a
and hence T. In fact, after one full orbit, all three pieces of trash simply return to the space station.

правильный ответ можно только угадать.
Ибо бросок по орбитальному движению и против него тоже "has a negligible impact on the total energy of the trash".
Без оценки $\Delta T$ и сравнения $V \Delta T$, где $V$ - скорость орбитального движения станции, с размером станции - не считается.
Интересно было бы мнение по этому поводу уважаемого DimaM