Сравнить моменты инерции тел

[Kevsh]

Даны два одинаковых тела. Оба состоят из стержня и шара. Не указано, проходит ось через их центр масс или нет - видимо нет. Нужно сравнить моменты инерции относительно оси. Шары расположены одинаково, значит моменты их инерций относительно данной оси тоже одинаковы. Проблема со стержнями. Я же верно понимаю, что если шары расположены одинаково, то центр масс системы $b$ явно ближе к оси, а значит и момент ее инерции относительно оси меньше(по теореме Штейнера), а следовательно $I_a > I_b$?

[Pphantom]

Kevsh в сообщении #1501918 писал(а):

Я же верно понимаю, что если шары расположены одинаково, то центр масс системы $b$ явно ближе к оси

Проще сказать, что для каждого элементарного объема первого тела найдется аналогичный у второго, который будет ближе к оси вращения (или на том же расстоянии от нее). Но вывод, да, правильный.

P.S. И, кстати, будет лучше, если такие темы вы будете создавать именно в разделе ПРР. Мне уже несколько надоело их сюда перемещать, корневой раздел для простых учебных задач не предназначен.

[EUgeneUS]

Pphantom в сообщении #1501929 писал(а):

Проще сказать, что для каждого элементарного объема первого тела найдется аналогичный у второго, который будет ближе к оси вращения

Не для каждого, вообще-то. Тот элемент объема, который располагался в первом случае на оси, во втором случае будет на некотором расстоянии от неё.
А при сильно большом угле поворота (вокруг центра шарика) момент инерции относительно оси окажется больше во втором случае, а не первом.

[Kevsh]

Понял, спасибо большое!

[Pphantom]

EUgeneUS в сообщении #1501939 писал(а):

Тот элемент объема, который располагался в первом случае на оси, во втором случае будет на некотором расстоянии от неё.

Почему? Рисунок, конечно, предельно схематичный, но вроде можно считать, что тело просто повернуто относительно некоторой оси, перпендикулярной оси вращения и пересекающей ее.

EUgeneUS в сообщении #1501939 писал(а):

А при сильно большом угле поворота (вокруг центра шарика) момент инерции относительно оси окажется больше во втором случае, а не первом.

Так ведь на рисунке нарисована ось, и трудно понять, что еще может называться "данной осью". Хотя, да, исходная формулировка из-за этого противоречит сама себе.

[EUgeneUS]

Pphantom

Kevsh в сообщении #1501918 писал(а):

Даны два одинаковых тела.

Kevsh в сообщении #1501918 писал(а):

Шары расположены одинаково

Это означает, что варианты а) и б) отличаются поворотом вокруг центра шара.

Если повернем на $\pi / 2$, то в варианте б) стержень будет располагаться параллельно оси вращения, на некотором расстоянии от неё, заданном расстоянием шара до оси вращения.
В варианте а) ось вращения проходит примерно через центр стержня.
Значит в этом крайнем случае момент инерции стержня будет больше в варианте б).

[Pphantom]

EUgeneUS в сообщении #1501959 писал(а):

Это означает, что варианты а) и б) отличаются поворотом вокруг центра шара.

... или это утверждение про шары - часть не условия, а уже решения ТС.

В общем, только Kevsh знает, что первичнее - это утверждение или нарисованная ось.

[EUgeneUS]

Pphantom в сообщении #1501961 писал(а):

что первичнее - это утверждение или нарисованная ось

Не вижу тут противоречий.
Нарисованная ось - это ось вращения, относительно которой и рассчитывается момент инерции.
Поворот вокруг центра шарика - это всего лишь ориентация тела, которое вращается вокруг нарисованной оси.

[Pphantom]

EUgeneUS в сообщении #1501964 писал(а):

Не вижу тут противоречий.

Тогда рисунок оказался бы заметно другим. Но ладно, действительно нет смысла гадать, нужна точная формулировка условия.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Pphantom в сообщении #1501953 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1501939 писал(а):

Тот элемент объема, который располагался в первом случае на оси, во втором случае будет на некотором расстоянии от неё.

Почему? Рисунок, конечно, предельно схематичный, но вроде можно считать, что тело просто повернуто относительно некоторой оси, перпендикулярной оси вращения и пересекающей ее.

Выделим тонкий цилиндрический элемент вдоль оси вращения $X$. После поворота перпендикулярно оси вращения, концы этого элемента будут находиться дальше от от неё.

Вложение:

n.jpg

[Утундрий]

Наверное, нелишним будет вспомнить, что тензор инерции не зря назван тензором?

[Pphantom]

Dan B-Yallay Да, пожалуй, согласен. Хотя в целом момент инерции все равно уменьшится.

[Dan B-Yallay]

Pphantom в сообщении #1502106 писал(а):

Хотя в целом момент инерции все равно уменьшится.

B этом сомнений нет.

[EUgeneUS]

Dan B-Yallay в сообщении #1502117 писал(а):

B этом сомнений нет.

Есть сомнения.

Вы, когда меняете ориентацию тела, поворачиваете его относительно оси пересекающей ось вращения и перпендикулярной ей. А судя по приведенным условиям нужно поворачивать относительно оси, проходящей через центр шара.

[Dan B-Yallay]

EUgeneUS в сообщении #1502132 писал(а):

Есть сомнения.

Я ведь ясно указал на рисунке, что рассматриваю поворот тела не вокруг центра шарика.

А чтобы дать какой-то вразумительный ответ ТС на его вопрос, то одной информации насчёт оси поворота мало. Надо еще узнать, является ли плотность однородной. А то вдруг 99% массы тела сосредоточено в шарике или, может быть, на другом конце стержня.