Формулы это все же не картины, поэтому мне кажется их красота, как и красота математики в целом, больше в том, когда они открывают нечто совершенно новое, проясняют неожиданные связи, помогают что-то понять и упростить. Есть известное выражение, что математика это когда сложное делается простым.
По этой же причине, красота, часто даже бОльшая, может быть не только в формулах, но и в новых понятиях, теоремах и структурах. Особенно в базовых понятиях и методах, которые оказываются универсальными.
Некоторое из того, что особенно запомнилось мне:
Теория множеств:1. Само понятие множества, в котором принципиально, что это не просто "некая совокупность", а переход от индивидуальных объектов (элементов) со своими свойствами, через выделение некоторых общих признаков в них (что и есть суть метода абстракции), в нечто, что теперь становится новым единым объектом. И теперь об этом объекте можно думать и оперировать им "целиком" как мы раньше оперировали более мелкими индивидуальными объектами.
2. Понятия классов эквивалентности и фактормножества, которые проходят практически через всю математику, обогащаясь при этом структурами в соответствующих множествах (группы, кольца и т.д.). Аналогично как и начальному понятия множества, это пример построения множества из отдельных объектов, но здесь сразу два шага (сначала классы эквивалентности как новые объекты, а потом следующий уровень и следующий объект - множество из них), и построение проходит по некоторым четким правилам, которые, как оказываются, встречаются и актуальны повсюду. Включая самые уж бытовые ситуации, когда люди говорят о "четных" и "нечетных" числах, даже не задумываясь, что оперируют здесь классами эквивалентности аналогично тому, как оперировали с обычными целыми числами. Также здесь встречается универсальная идея "забывания" части свойств индивидуальных объектов и выделение только наиболее важных (которая потом, в других вариантах, также проявляется в теории категорий, включая само понятие категории).
3. Диагональный метод Кантора и как он проявляется в разных доказательствах, например неравномощности множества и множества его подмножеств. (Это менее известный способ доказательства данной неравномощности, но он "конструктивнее" и ИМХО психологически понятнее и проще, чем стандартный способ "рассмотрим множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих своим образам...").
4. Теорема Кантора — Бернштейна. Наверное, единственное нетривиальное доказательство в элементарной теории множеств, и при этом очень красивое.
Алгебра, теория чисел, теория категорий:5. Некоторые из теорем теории групп, например теорема Кэлли и теорема Лагранжа. Очень простые, даже очевидные, но при этом очень глубокие. Это также хороший пример, когда введение "правильных" новых определений (например, смежных классов) часто делает практически очевидным утверждения и теоремы, которые, казалось бы, к ним не относились.
6. Приложения теорий групп и колец к элементарной теории чисел (снова теорема Лагранжа, идеалы и т.д.).
7. Понятия категории как переход на следующий уровень абстракции. Такие переходы - одно из самых важных в математике, поскольку не только позволяют узнать нечто принципиально новое, но и делают проще и понятнее предыдущие уровни абстракции, поскольку разные объекты и их свойства теперь часто описываются единым образом. А главное, начинаешь понимать что там "на самом деле" происходит.
8. А также начала теории категорий, особенно такие понятия как универсальное свойство (как нечто выглядит по-разному в разных структурах, но при этом имеет, по сути, один и тот универсальный смысл) и естественное преобразование (полезное даже в простых приложениях, например в линейной алгебре).
Анализ:9. Построение вещественных чисел через дедекиндовы сечения. Можно, конечно, все строить чисто аксиоматически, но только одно из "конструктивных" построений модели вещественных чисел позволяет понять почему аксиома полноты именно такая, а значит, с учетом ее принципиальной важности, более уверенно чувствовать себя в будущем. (Кроме дедекиндовых сечениий есть и другие построения, но сечения в свое время мне понравились больше всего.)
10. Построение практически всей теории непрерывных функций на основе всего одного свойства: полноты/непрерывности вещественных чисел. Также - несколько эквивалентных формулировок этого свойства, т.е. как некоторое свойство может проявляться и формулироваться сразу в нескольких вариантах.
11. Понятие предела по базе, как оно проявляется в разных ситуациях (последовательности, функции, интеграл Римана) и как позволяет проводить универсальные доказательства вроде бы совсем разных теорем.
12. Формула Тейлора и ряд Тейлора. Сначала кажется сложным, но все доказательство сводится к элементарной оценке остаточного члена по (тоже элементарной) теореме Лагранжа о конечном приращении.
13. Общая теорема/формула Стокса как обобщение и упрощение сразу нескольких формул, которые раньше казались несвязанными и некоторые довольно сложными: формула Ньютона — Лейбница, теорема Грина, формула Кельвина — Стокса, формула Остроградского — Гаусса.
И отдельно от "красоты" выделю такое понятие как "загадка" с главным представителем под логичным для него номером:
. Простые числа. (Которые настолько же "простые", как Тихий океан - "тихий".) Мне до сих пор удивительно как такие естественные и очевидные понятия как целые числа и операции над ними сразу приводят к сложнейшему понятию "простых чисел" с точки зрения их нахождения и распределения среди остальных чисел. Ты еще фактически ничего не придумал, спокойно сидел и никого не трогал, только стал складывать палочки, и вдруг сразу появляется нечто, распределенное между ними странным и удивительным образом.
Одно дело когда непонятны физика и природа в целом - мало ли что могло произойти во время Большого взрыва и после него, сколько есть Вселенных, что там находится на субквантовом уровне, что такое человеческое сознание... это все исключительно интересные вещи, и многое в них может быть совершенно непонятно, но ощущения странности и нелогичности здесь нет (а на крайний случай - да здравствует антропный принцип).
И всякие отрицательные, иррациональные и комплексные числа по сравнению с простыми - образец логичности и понятности. Что-то добавляем, расширяем, все аккуратно и логично растет наверх и в стороны.
Но как, откуда и почему нечто настолько странное как простые числа и их распределение вдруг и
само по себе появляется в целых числах?? Здесь уже не помогут квантовые случайности, неопределенности, мультивселенные, супердетерминизм, антропный принцип и другие способы объяснения почему наш мир именно такой. Это уж точно существует объективно и вне нас, но
почему оно такое?
Была когда-то мысль, что, возможно, дело в том, что базовых арифметических операций сложения, умножения и их известных производных и комбинаций недостаточно для понимания распределения простых чисел (а заодно, возможно, и других задач теории чисел) и нужны какие-то принципиально новые операции. Но назвать это конструктивной идеей сложно, поскольку непонятно куда двигаться. Можно, конечно, придумать что угодно, как и в целом можно придумать алгебраическую структуру с самыми экзотическими отношениями на ней, но непонятно что именно и как это будет полезно. Или может уже были какие-то попытки в этом направлении?
Но скорее всего, дело просто в том, что несмотря на то, что загадки распределения простых чисел и их свойств появляются сразу в арифметике, т.е. кажутся самыми базововыми и элементарными, это одни из самых глубоких проблем в математике, и их решение и настоящее понимание будут требовать еще пары столетий развития математики. Как минимум, сначала нужно будет доказать гипотезу Римана :) И при этом количество и глубина проработки требуемых разделов математики для понимания для всего этого будет намного больше, чем использовалось для доказательства Великой теоремы Ферма.
и 
,недоступные для понимания большинству людей еще пару столетий назад,геометрическая "мировая константа" 
и,наконец,число 
,которое(наряду с 
и т.п.) и сосредоточимся на формулах из мира математики.Критериями красоты формулы предлагаю следующие(разумеется,точно сформулировать их невозможно,но смысл понятен каждому).
).
(ЕСЕ Планка).
тогда уж. Он же закон тождества, третий закон формальной логики, третья глава "Атланта"...
. Или хотя бы утверждение, что наименьшее положительное 
, при котором 
, равно 
. Минус единица справа от знака равенства достаточно полезных связей к жизни не вызывает; куда полезнее будет тогда 
, хотя это не сказать чтобы формула, за определение тоже не сойдёт, но мысль, что стоит рассматривать не вещественные объекты, квадрат которых является любым вещественным числом и в частности 
, была для математики плодотворной.
(тождественно истинная формула—константа). 
(по аналогии с известным примером усложнения 
).