2 точки в пространстве

[profilescit]

Заданы две точки в пространстве на расстоянии $d = 14 m$. Материальная точка начинает свое движение в точке A с нулевой начальной скоростью так чтобы достичь точку $B$ за время $t = 10 s$ с наиболее большой возможной скоростью в точке $B$. Найдите эту скорость, если точка может либо ускоряться либо тормозить с постоянным ускорением $a = 1 m/s^2$


В целом, в моей попытке решения, все сводиться к тому чтобы найти "стратегию", путь, как надо этой точке двигаться. Первая оценка выглядело так: Пусть тело движется к какой-то точке $C$ так чтобы всегда $CB$ было гипотенузой треугольника $ABC$. В таком случае у нас будет большой пути для разгона.
На участке $AC$ тело разгоняется половину пути и тормозит половину пути, достигнув точку $C$ с нулевой скоростью. Далее, двигается по прямой до точки $B$ с постоянным ускорением.
Потом думал какое-то время над брахистохромой, но понял что оно гарантирует минимальное время а не максимальную скорость.

Скажите, прав ли я в рассуждениях? Если нет, как решить задачу?

Понимаю что по хорошему можно ее сделать с помощью вариационного анализа, но пока не знаю нужной математики, да и задача задается для олимпиады.

[sergey zhukov]

profilescit
Интересно. Я думаю, что нужная кривая - дуга окружности. Кажется очевидным, что тело должно постоянно увеличивать свою скорость все эти 10 сек.
При этом желательно иметь как можно меньшее тангенциальное ускорение, т.к. оно ничего к скорости не прибавляет, а касательное ускорение уменьшает.
Но совсем без тангенциального ускорения не обойтись - прямой путь оказывается слишком коротким и занимает менее 10 сек.
Получается, что нужно двигаться с постоянным ускорением по кривой возможно меньшей кривизны, движение по которой занимает 10 сек. Думаю, это окружность, хотя нужно посчитать, конечно.

[VASILISK11]

profilescit в сообщении #1493705 писал(а):

В целом, в моей попытке решения, все сводиться к тому чтобы найти "стратегию", путь, как надо этой точке двигаться.

Наверное, сначала назад ускорение-торможение, а потом вперед, к цели, с максимальным ускорением. Отклонение от прямой, которая соединяет две точки, только ухудшит результат, так как уменьшит максимальное расстояние до цели.

[StaticZero]

profilescit, нарисуем график $v(t)$:

$$ \begin{tikzpicture} \draw [->] (0, 0)--(0, 2) node [pos=0.98, left] {$v(t)$}; \draw [->] (0, 0)--(7, 0) node [pos=1.0, below] {$t$}; \draw [thick] (6, 0) --(6, 2); \node [below] at (6, 0) {$t_B=10$} \node [below] at (0, 0) {$t_A=0$} \draw (0, 0)--(1, 1)--(1.5, 0.5)--(2.5, 1.5)--(3.5, 0.5)--(5, 2)--(6.5, 0.5); %\draw [thick, blue] (0, 0)--(6, 1); \fill [red] (6, 1) circle (2pt); \end{tikzpicture} $$

Мы исходим из того, что доступно движение только вдоль прямой, соединяющей точки. В этом случае это ломаная, коэффициенты звеньев у которой $\pm 1$. Вне зависимости от скорости движения график $v(t)$ будет иметь одинаковый размер (в том смысле, что $t_B$ всегда одинаково вне зависимости от выбранного режима движения) -- это одно из ограничений.

Вам нужно загнать красную точечку как можно выше, чтобы максимизировать скорость $v_B$. Тут уже сказали, что просто так это нельзя сделать, так как расстояние, проходимое за 10 секунд, будет большим, чем расстояние между точками.

1) Какая характеристика на графике отвечает второму ограничению на пройденный путь $s=14$?
2) Как она зависит от количества звеньев?

Если не догадаетесь, у меня ещё есть подсказка одна.

Начните со стратегии VASILISK11: сначала ускорьтесь, потом в момент времени $t_1$ замедлитесь, потом в момент времени $t_2$ нова ускорьтесь. Получите ответ. Попытайтесь улучшить.

[sergey zhukov]

StaticZero
Если так задачу поставить, то VASILISK11, по моему, прав. Его решение улучшить вроде уже не удается.

[StaticZero]

sergey zhukov, догадка хорошая, надо доказать, что лучше нельзя, в этом вся проблема. (Я кстати не знаю, можно улучшить или нет. Щас поколдую.)

[Prisma]

Надо просто доказать, что наличие точки максимума на графике позволяет улучшить стратегию. Тут два варианта знаю, попробовать смещать точку максимума, или отрезать маленький треугольник (параллельно оси времени) и переворачивать его зеркально.
остальное пусть додумает автор

[Amw]

profilescit в сообщении #1493705 писал(а):

На участке $AC$ тело разгоняется половину пути и тормозит половину пути, достигнув точку $C$ с нулевой скоростью. Далее, двигается по прямой до точки $B$ с постоянным ускорением.

Здесь нет никакой задачи оптимизации - если тело может двигаться только с постоянным ускорением разного знака, то и пусть двигается сначала назад $x$ секунд, затем $(10-x)$ секунд вперед, чтобы через 10 сек оказаться на расстоянии 14м от начальной точки. Время $x$ находится как решение квадратного уравнения.

[sergey zhukov]

Amw
Ну это уже вообще предельное упрощение. Сначала разговор был о том, что тело может двигаться по любой пространственной кривой. Потом - что только по прямой. Теперь же - что только по прямой и только с максимальным ускорением $+1$ и $-1$, да еще и только с одной точкой смены ускорения. Тогда конечно, никакой вариационной задачи тут уже нет, одно квадратное уравнение.

[Prisma]

Кстати, само условие, в котором написано про точки в пространстве, а не про точки на прямой, предполагает движение по любой пространственной кривой. А вот дальнейшее указание, что точка может ускоряться или тормозить с постоянным ускорением, не оставляет вариантов, кроме движения только вдоль прямой

[sergey zhukov]

Prisma
Мда. Действительно. Я как-то сразу подумал, что в этой задаче на модуль вектора ускорения наложено максимальное ограничение. А тут ведь в самом деле, к точке по условию может быть приложено всего два вектора ускорения: $+1$ и $-1$. Да еще "точка может либо ускоряться, либо тормозиться", а не "двигаться равномерно по кругу" например. Тогда это действительно движение по прямой, причем с максимальным ускорением $+1$ или $-1$.

Тогда нужно только немного подумать, как доказать, что решение VASILISK11 и есть оптимальное.

[Prisma]

Да это уже доказано, пусть теперь автор сам восстановит полное доказательство. Гораздо интересней действительно рассмотреть произвольное движение с наложенным условием, что модуль ускорения постоянный. Остальное всё, как в задаче

-- 22.11.2020, 22:51 --

sergey zhukov в сообщении #1493789 писал(а):

Да еще "точка может либо ускоряться, либо тормозиться", а не "двигаться равномерно по кругу" например

Да, слово "тормозить", как впрочем и "ускоряться" относится только к изменениям модуля скорости. Сейчас подумал, а что мешает двигаться по сложной траектории, испытывая на ней ускорение или торможение с указанным в задаче модулем? Противоречит ли это условию задачи?

[sergey zhukov]

Prisma

Prisma в сообщении #1493791 писал(а):

Сейчас подумал, а что мешает двигаться по сложной траектории, испытывая на ней ускорение или торможение с указанным в задаче модулем?

Тогда нет никакой задачи. Берем любую траекторию подходящей длины и запускаем по ней тело с постоянным максимальным касательным ускорением.
Если не считать, что ограничение наложено на векторную сумму касательного и нормального ускорений, а полагать, что только на касательное - задача теряет смысл.

[Prisma]

Именно так, но противоречит ли это условию задачи?

[sergey zhukov]

Prisma
Ну, это же крючкотворство какое-то. Очевидно, нечестно будет воспользоваться неточностью формулировки для обоснования такого "решения".