Задача на вращательное движение

[mathinprivate]

Здравствуйте! Возникла проблема со следующей задачей из задачника Савельева: однородному цилиндру сообщают начальный импульс, в результате чего он начинает катиться без скольжения вверх по наклонной плоскости со скоростью $v_0=3.00$ метра в секунду. Плоскость образует с горизонтом угол $\alpha = 20.0^{\circ}$. Ясно, что составив уравнения динамики поступательного и вращательного движения цилиндра, все пункты задачи решатся без труда (а непонимание у меня в составлении уравнений!). Начинаю показывать свое решение.
$M\overrightarrow {w_c}=\overrightarrow {N} + M \overrightarrow {g} + \overrightarrow {f_{fr}}$,
$\frac {1}{2} MR^2\beta = f_{fr}R$.
Знаю, что до этого момента все верно. Нужно также воспользоваться соотношением $w_c=\beta R$, так как цилиндр движется без скольжения, а значит скорость точки контакта равна нулю. Однако дальше у меня возникают вопросы, точнее даже противоречия: а куда направлена сила трения? Сила трения приложена к точке контакта с поверхностью, точка контакта имеет нулевую скорость (отсутствует проскальзывание). Но разумеется, сила трения есть (а почему тогда цилиндр будет тормозить?) В этом случае, наверное, нужно руководствоваться здравым смыслом: я думаю, проекция силы трения противоположна по знаку проекции силы тяжести, так как она должна останавливать вращение цилиндра: $Mw_c=Mg\sin \alpha - f_{fr}$. Так вот, вопрос состоит в том, можно ли руководствоваться еще какими-то соображениями при определении направления силы трения качения?

[StaticZero]

mathinprivate в сообщении #1493087 писал(а):

а почему тогда цилиндр будет тормозить?

А если камушек вертикально бросить, он не будет тормозить какое-то время?

mathinprivate в сообщении #1493087 писал(а):

силы трения качения

Вы хотите именно учесть трение качения, или вы просто путаете эту силу и ту, что мешает проскальзывать?

[EUgeneUS]

mathinprivate в сообщении #1493087 писал(а):

все пункты задачи решатся без труда

Какие пункты?

mathinprivate в сообщении #1493087 писал(а):

$M\overrightarrow {w_c}=\overrightarrow {N} + M \overrightarrow {g} + \overrightarrow {f_{fr}}$,
$\frac {1}{2} MR^2\beta = f_{fr}R$.
Знаю, что до этого момента все верно.

То есть, Вы умножаете массу на угловую скорость, получаете силу и считаете, что всё верно?

[StaticZero]

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1493099 писал(а):

массу на угловую скорость

В некоторых книжках используется обозначение $\mathbf w = \ddot {\mathbf x}$.

[sergey zhukov]

mathinprivate
Если вам так проще, считайте, что наклонная плоскость зубчатая, а цилиндр - это шестерня. Никакого трения между ними нет, но шестерня по зубчатой рейке все равно не проскальзывает.

Вопрос в задаче, про который вы как-то забыли упомянуть, состоит, видимо в том, что нужно найти закон движения центра цилиндра. Подобные задачи проще всего решаются с использованием закона сохранения энергии. При этом никакие силы искать вообще не требуется.

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1493101 писал(а):

В некоторых книжках используется обозначение $\mathbf w = \ddot {\mathbf x}$.
Может быть. Но это же не повод не объяснять введенные обозначения.

[wrest]

mathinprivate в сообщении #1493087 писал(а):

Но разумеется, сила трения есть (а почему тогда цилиндр будет тормозить?)

Так гравитация же :)

mathinprivate в сообщении #1493087 писал(а):

Так вот, вопрос состоит в том, можно ли руководствоваться еще какими-то соображениями при определении направления силы трения качения?

В вашей задаче сила трения качения равна нулю. Из трения -- есть только сила трения покоя (из условия "нет проскальзывания").

[mathinprivate]

wrest в сообщении #1493106 писал(а):

В вашей задаче сила трения качения равна нулю. Из трения -- есть только сила трения покоя (из условия "нет проскальзывания").

Ну, вопрос задачи, скажем, такой: через какое время $t_1$ цилиндр остановится? То есть силой, замедляющей вращение цилиндра, будет в данном случае сила трения покоя? То, что его центр масс "тормозится" - совершенно ясно: гравитация делает свое дело. Однако мне тяжело понять, какая сила будет создавать вращательный момент, тормозящий вращение цилиндра.

[wrest]

mathinprivate в сообщении #1493117 писал(а):

То есть силой, замедляющей вращение цилиндра, будет в данном случае сила трения покоя?

Да.

[EUgeneUS]

mathinprivate в сообщении #1493117 писал(а):

Однако мне тяжело понять, какая сила будет создавать вращательный момент, тормозящий вращение цилиндра.

Сила трения покоя и будет создавать тормозящий момент. Но это так, для понимания.
Для ответа на вопрос:

mathinprivate в сообщении #1493117 писал(а):

через какое время $t_1$ цилиндр остановится?

Правильнее рассматривать энергию цилиндра. Как отметили выше.

[mathinprivate]

EUgeneUS в сообщении #1493120 писал(а):

Правильнее рассматривать энергию цилиндра. Как отметили выше.

Я принципиально не хочу подходить к этой задаче "энергетически". Мне хочется разобраться с силами.
А не могли бы вы рассказать поподробнее про силу трения покоя в этой задаче? Какую силу она в данном случае будет уравновешивать?

[sergey zhukov]

mathinprivate
В таком случае учтите, что мгновенная ось вращения цилиндра - это не его центр, а точка контакта с поверхностью. Относительно это точки цилиндр вращается. Какая сила создает момент относительно этой точки?

[wrest]

mathinprivate в сообщении #1493121 писал(а):

А не могли бы вы рассказать поподробнее про силу трения покоя в этой задаче? Какую силу она в данном случае будет уравновешивать?

Силы всегда идут парами, одна уравновешивает другую. Третий Закон же!
Единственно, в задачах этих с наклонными плоскостями, есть сила тяжести, которая неуравновешена ничем (т.к. движение Земли под действием силы тяжести со стороны цилиндра на Землю обычно не рассмативается). Момент-то цилиндр потеряет, а вот какое тело приобретёт -- (ибо он должен сохраниться же) -- остается за рамками задач обычно.

[mathinprivate]

sergey zhukov в сообщении #1493123 писал(а):

mathinprivate
В таком случае учтите, что мгновенная ось вращения цилиндра - это не его центр, а точка контакта с поверхностью. Относительно это точки цилиндр вращается. Какая сила создает момент относительно этой точки?

Относительно мгновенного центра вращения момент будет создавать сила тяжести, это то понятно. Но мне хотелось бы принципиально рассматривать вращение цилиндра относительно его центра инерции

-- 18.11.2020, 20:56 --

wrest в сообщении #1493124 писал(а):

Силы всегда идут парами, одна уравновешивает другую. Третий Закон же!
Единственно, в задачах этих с наклонными плоскостями, есть сила тяжести, которая неуравновешена ничем (т.к. движение Земли под действием силы тяжести со стороны цилиндра на Землю обычно не рассмативается). Момент-то цилиндр потеряет, а вот какое тело приобретёт -- (ибо он должен сохраниться же) -- остается за рамками задач обычно.

Но сила трения ведь является внешней для цилиндра. Под "уравновешивает" я имел в виду именно просто природу силы трения покоя. Она возникает между контактирующими телами и препятствует возникновению относительного движения между ними, которое могло бы быть вызвано какой-то другой силой. Сила трения покоя ведь не возникает ниоткуда.

[EUgeneUS]

mathinprivate

Сила трения покоя должна удовлетворять неравенству $F_{fr} \leqslant \mu N$, больше ничего про силу трения покоя априори сказать не можем.
В данной задаче наложено условие "нет проскальзывания", из которого следует равенство $v = \omega R$ (1) , где $v$ - поступательная скорость оси цилиндра, $\omega$ - угловая скорость цилиндра, $R$ - радиус цилиндра.

Если теперь расписать все силы и моменты, продифференцировать по времени (1), свести всё в кучу, то можно найти силу трения.
Но зачем всё это нужно, если вопрос задачи совсем о другом?