Скалярное произведение векторов

[Marmelad]

Из Беклемишева:
"П р е д л о ж е н и е 2. Для любых векторов a, b и c и любых чисел $\alpha$, $\beta$ выполнено равенство ($\alpha$a $+$$\beta$b, c) = $\alpha$(a,c) $+$ $\beta$(b,c). Док-во: Если c $=$ 0, то оно очевидно. Пусть c $\ne$ 0. Примем его за первый вектор базиса, а остальные выберем ортогонально к нему и между собой. Число ($\alpha$a $+$$\beta$b, c) /$|c|^2$ — первая компонента вектора $\alpha$a $+$ $\beta$b. Точно так же $\alpha$(a, c)/$|c|^2$ и $\beta$(b, c)/$|c|^2$ — первые компоненты векторов $\alpha$a и $\beta$b...". Ну и далее очевидно, что если мы сложим последние два вектора, то их компоненты по всем базисам сложатся, и мы получим сумму компонент по c- $\alpha$(a, c)/$|c|^2$ $+$ $\beta$(b, c)/$|c|^2$, которая равна ($\alpha$a $+$$\beta$b, c) /$|c|^2$.
Меня беспокоят 2 вопроса:
1) Почему в доказательстве вектора a,b,c берут попарно ортогональными, если утверждение сформулировано для любых a,b,c. Это тоже самое, как доказывать, что в треугольнике все медианы пересекаются в одной точке, на примере равностороннего. Я этого подхода не понимаю (который будет позже использован в теме "векторное произведение"). В связи с тем, прошу дать подсказку как доказать это при отсутствии попарной перпендикулярности.
2) Раз a,b,c попарно ортогональны, что компоненты векторов $\alpha$a и $\beta$b по c равны нулю, а значит равна нулю и компонента по c $\alpha$a $+$$\beta$b. Почему об этом не слова?

[iifat]

Marmelad в сообщении #1492878 писал(а):

Почему в доказательстве вектора a,b,c берут попарно ортогональными

Не берут.

[Marmelad]

iifat в сообщении #1492880 писал(а):

Marmelad в сообщении #1492878 писал(а):

Почему в доказательстве вектора a,b,c берут попарно ортогональными

Не берут.

Тогда про какие векторы идет речь? "Пусть c $\ne$ 0. Примем его за первый вектор базиса, а остальные выберем ортогонально к нему и между собой."

[mihaild]

Marmelad в сообщении #1492881 писал(а):

Тогда про какие векторы идет речь?

Про вектора базиса, который мы вводим. Т.е. вводим новый базис $\langle c, e_1, \ldots, e_n\rangle$ (где $n$ -то число, которое там должно быть) и раскладываем $a$ и $b$ по нему.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.