Поиск лагранжиана по экстремалям

[Padawan]

knopkaq в сообщении #1490976 писал(а):

если свернуть это как $L^{2}_{u} (\frac{v}{L_u})^{'}_{v} = 0$

Зачем? Вам же Утундрий подсказал замену

Утундрий в сообщении #1490974 писал(а):

$L_u \to f$

[Утундрий]

knopkaq в сообщении #1490976 писал(а):

для произвольных констант $D, E$

На этом.

[knopkaq]

не понимаю что не так((
если $L(u, v) = Duv + E$ подставить в уравнение, то мы ведь получим тождество по $u, v$
или я потерял какие-то еще решения ?

[Утундрий]

knopkaq в сообщении #1490996 писал(а):

не понимаю что не так

Что будет решением уравнения $\frac{\partial }{{\partial x}}f(x,y) = 0$ ?

[knopkaq]

Утундрий в сообщении #1490999 писал(а):

Что будет решением уравнения $\frac{\partial }{{\partial x}}f(x,y) = 0$ ?

думаю $f(x, y) = g(y)$ где $g$ - произвольная функция зависящая от $y$ и не зависящая от $x$.

[Утундрий]

А теперь вернитесь к исходному уравнению. Может быть $D$ и $E$ всё-таки не совсем константы?

[knopkaq]

тогда не очень понял как решать(
в первом случае когда $L_u = 0$ получаем что $L(u, v) = f_1(v)$
а вот во втором получаем что $\frac{v}{L_u(u, v)} = f_2(u)$ откуда $L_u(u, v) f_2(u) = v$ и тогда при условии что $f_2(u) \ne 0$ получаем $L_u(u,v) = \frac{v}{f_2(u)} $ и тогда $L(u, v) = v\int \frac{du}{f_2(u)} + f_3(v)$
кажется что я опять что-то не понимаю(

[Утундрий]

knopkaq в сообщении #1491090 писал(а):

$L(u, v) = v\int \frac{du}{f_2(u)} + f_3(v)$

Вот это уже почти решение. Осталось сказать пару слов за функцию $f_3$.

[knopkaq]

Утундрий в сообщении #1491096 писал(а):

Осталось сказать пару слов за функцию $f_3$.

я думаю что это просто произвольная функция, не зависящая от переменной $u$. У нее еще какие-то ограничения должны быть ?

[Утундрий]

knopkaq в сообщении #1491122 писал(а):

просто произвольная функция

Ок. Теперь найдите экстремали этого лагранжиана.

[Padawan]

$L(x,x')=x'\Phi(x)+\Psi(x')$

[Утундрий]

Будем последовательны. Сначала "псю", а потом уже "почему фя не важна".

[Padawan]

Вот Ландау-Лифшиц бы так выводили вид лагранжиана свободной частицы, как хорошо бы было.

[knopkaq]

Утундрий в сообщении #1491126 писал(а):

Ок. Теперь найдите экстремали этого лагранжиана.

получается так что $f_3(v)$ произвольная функция такая что $f^{''}_3(v)\ne 0 $ ?

[Утундрий]

Правильно. А почему первое выпадает - понятно?