ЛИКБЕЗ. Сепарабельность С[a,b]

[mihaild]

TelmanStud в сообщении #1485722 писал(а):

$[0,1],\,\rho=\left|x-y\right|$

Правильно. Теперь можете ответить на свой второй вопрос?

[TelmanStud]

Slav-27 в сообщении #1485717 писал(а):

Докажите для каждого конечного $n$, потом возьмите объединение по $n$.

Я понял Ваши рассуждения:
$\left|\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N}\cup {0}} P_i\right|=\aleph_0$ как счетное объединения счетных ($P_i-$ многочлен i-oй cтепени). Однако не нашел еще противоречия в своих рассуждениях.

[Mikhail_K]

TelmanStud в сообщении #1485724 писал(а):

Однако не нашел еще противоречия в своих рассуждениях.

Каких рассуждениях, процитируйте?

Вот в этих?

TelmanStud в сообщении #1485704 писал(а):

Так для произвольного $\varepsilon$ мы не можем на перед указать $M=\deg P(x)$, что
$\rho(f(x),P(x))<\varepsilon$ ,$f(x)\in C[0,1]$. Всегда уменьшая эпсилон у нас будет необходимость в увеличении степени.

Но вопрос о счётности или несчётности множества многочленов с рациональными коэффициентами не имеет никакого отношения к пространству $C[0,1]$. Как у Вас при решении этого вопроса появилось пространство $C[0,1]$?
Пространство $C[0,1]$, понятное дело, несчётно. А вот множество многочленов с рациональными коэффициентами счётно (и отсюда следует сепарабельность $C[0,1]$).

В Вашем "счётном декартовом произведении счётных множеств" будет например и такой элемент:
$1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots$
И такой:
$1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots$
Они оба не являются многочленами (хотя второй из них и принадлежит $C[0,1]$, но он всё равно не многочлен).
Так что множество многочленов уже, чем Ваше "счётное декартово произведение счётных множеств".

[TelmanStud]

mihaild
Попробую.
Рассмотрим ограниченные последовательности вида $x=(0,x_1,x_2,...),\,\, 0 \le x_i \le 9$ с метрикой $\rho(x,y)=\sup(\left|x_k-y_k\right|)$. Оно не сепарабельно, но с другой стороны изоморфно отрезку $[0,1]$ так как на этот набор можно посмотреть как на десятичное число $\overline{0,x_1x_2,x_3...}$.
Соответственно "одно и тоже" пространство оказалось сепарабельным в одной метрике и не таковым в другой.
Правильно?

-- 04.10.2020, 17:56 --

Mikhail_K
Логично. Первый вопрос снял.

-- 04.10.2020, 18:12 --

Slav-27
Пропустил

Цитата:

Про сепарабельность: на любом множестве можно ввести дискретную метрику (расстояние между любыми 2 различными элементами $1$).

Спасибо Всем за пояснения!

[mihaild]

TelmanStud в сообщении #1485726 писал(а):

но с другой стороны изоморфно отрезку $[0,1]$ так как на этот набор можно посмотреть как на десятичное число $\overline{0,x_1x_2,x_3...}$.

Тут нужно чуть тоньше - последовательности $1,0,0,\ldots$ и $0, 9, 9, 9, \ldots$ соответствуют одному и тому же числу.

[TelmanStud]

mihaild
Да то что я предложил не есть биекция. Как исправить?

[Someone]

TelmanStud в сообщении #1485713 писал(а):

Многочлен с рациональными коэффициентами $a_j\in\mathbb{Q} ,\,j\in \mathbb{N}$: $P(x)=a_0+a_1 x+...+a_n x^n$

Если мы хотим, чтобы многочлен имел степень $n$, то нужно указать, что $a_n\neq 0$.

TelmanStud в сообщении #1485713 писал(а):

Каждый многочлен отождествляется с набором $(a_0,a_1,...,a_n)$

Да. С набором, состоящим из $n+1$ рациональных чисел, в котором $a_n\neq 0$.

TelmanStud в сообщении #1485713 писал(а):

Множество всех таких наборов $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\times...\times \mathbb{Q}$ (n штук)

Нет. При $n>0$ получается $\mathscr P_n=\mathbb Q^n\times(\mathbb Q\setminus\{0\})$, а при $n=0$ нужно взять $\mathscr P_0=\mathbb Q$. (Иногда многочлен, тождественно равный $0$, считают многочленом степени $-1$ (или даже $-\infty$). Тогда нужно считать, что $\mathscr P_0=\mathbb Q\setminus\{0\}$ и $\mathscr P_{-1}=\{0\}$ (или $\mathscr P_{-\infty}=\{0\}$).)

TelmanStud в сообщении #1485716 писал(а):

Так ведь этот $n$ не будет фиксирован

Разумеется.

TelmanStud в сообщении #1485716 писал(а):

у нас необходимость выбирать его больше чем любое заранее заданное число.

Откуда взялась такая необходимость?

TelmanStud в сообщении #1485726 писал(а):

Логично. Первый вопрос снял.

Извините, из вашей переписки я не понял, поняли ли Вы, почему множество многочленов с рациональными многочленами счётно. Как оно выражается через множества $\mathscr P_n$?

TelmanStud в сообщении #1485767 писал(а):

Да то что я предложил не есть биекция. Как исправить?

Стандартно: выкинуть периодические (начиная с некоторого места) последовательности с периодом $(9)$ и добавить последовательность $(1,0,0,0,0,\ldots)$.

TelmanStud в сообщении #1485726 писал(а):

Соответственно "одно и тоже" пространство оказалось сепарабельным в одной метрике и не таковым в другой.

Терминологическая неточность. "Одно и то же" здесь множество, а пространства разные. Потому что метрическое пространство — это множество вместе с метрикой.

[TelmanStud]

Someone в сообщении #1485770 писал(а):

Если мы хотим, чтобы многочлен имел степень $n$, то нужно указать, что $a_n\neq 0$.

Это подразумевалось.

Someone в сообщении #1485770 писал(а):

Да. С набором, состоящим из $n+1$ рациональных чисел, в котором $a_n\neq 0$.

Сбился в счете).

Someone в сообщении #1485770 писал(а):

Откуда взялась такая необходимость?

Нач. рассуждения заблуждения : чтобы $C[0,1]$ было сепарабельным по определению для каждого $f(x)\in C[0,1]$ и для любого эпсилон должен найтись многочлен с рац. коэффициентами, что $\left| P_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon$ для всех $x\in[0,1]$. При уменьшении эпсилон у нас все равно возникнет необходимость увеличивать $n$. Таким образом, мы будем вынуждены брать его больше наперед любого заданного числа, взяв достаточно маленький эпсилон. Из последнего мне показалось, что $n$ должно быть "заранее" бесконечным.

Someone в сообщении #1485770 писал(а):

Извините, из вашей переписки я не понял, поняли ли Вы, почему множество многочленов с рациональными многочленами счётно. Как оно выражается через множества $\mathscr P_n$?

$\left|\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N}\cup \{0\}} \mathscr{P}_i\right|=\aleph_0$ или воспользоваться $\left|A\times A\right|=\left|A\right|$

Someone в сообщении #1485770 писал(а):

Стандартно: выкинуть периодические (начиная с некоторого места) последовательности с периодом $(9)$ и добавить последовательность $(1,0,0,0,0,\ldots)$.

Но такие там уже есть. С другой стороны, хотелось бы, что нибудь по изящнее, без "шлифовок".

[Someone]

TelmanStud в сообщении #1485779 писал(а):

Да, но хотелось бы, что нибудь по изящнее, без "шлифовок".

Ну вон же Slav-27 написал, как можно сделать совсем изящно, и Вы его за это поблагодарили. Возьмите отрезок и введите на нём указанную метрику. Тем более, что получится пространство, гомеоморфное вашему с более сложной метрикой (оба дискретные).

TelmanStud в сообщении #1485779 писал(а):

или воспользоваться $\left|A\times A\right|=\left|A\right|$

А это здесь совсем ни при чём. У Вас же объединение, а не произведение.

[TelmanStud]

Someone в сообщении #1485780 писал(а):

гомеоморфное

Спасибо.

(Оффтоп)

Вам не говорили, что Ваша ава это копия Карена Георгиевича)

[Someone]

(TelmanStud)

TelmanStud в сообщении #1485782 писал(а):

Вам не говорили, что Ваша ава это копия Карена Георгиевича)

Шахназарова? Нет, не говорили. Я этот "портрет" сам сгенерировал, когда играл в EVE; использовал встроенный генератор аватаров. Старался, чтобы хотя бы немного на меня было похоже, и это максимум, чего я смог добиться. Художник я от слова "худо".
Посмотрел на фотографию Шахназарова. Да, некоторое сходство, вроде бы, есть.
Но как бы тут нам нагоняй не устроили.