ЛИКБЕЗ. Сепарабельность С[a,b]

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
1) От Вики Сепарабельное пространство:

Цитата:

Пространство непрерывных функций на отрезке $[0,1] $ с метрикой равномерной сходимости (то есть пространство $C[0,1]$) сепарабельно. По аппроксимационной теореме Вейерштрасса пространство многочленов с рациональными коэффициентами на том же отрезке является его счётным всюду плотным подпространством.

Не пойму, почему множество всех таких многочленов счетно.
Ведь мы заранее не можем указать максимальную степень таких многочленов. Ассоциируя многочлены с его коэффициентами получаем счетное декартово произведение счетных множеств. Оно разве счетно?
2) Может ли оказаться, что метрическое пространство сепарабельно относительно одной метрики и не сепарабельно относительно другой?

[alisa-lebovski]

TelmanStud в сообщении #1485700 писал(а):

Ведь мы заранее не можем указать максимальную степень таких многочленов. Ассоциируя многочлены с его коэффициентами получаем счетное декартово произведение счетных множеств. Оно разве счетно?

Нет, так у Вас ряды получатся. Мы берем многочлены одной степени, другой степени... Получается счетная сумма счетных множеств, а не произведение.

[mihaild]

TelmanStud в сообщении #1485700 писал(а):

Может ли оказаться, что метрическое пространство сепарабельно относительно одной метрики и не сепарабельно относительно другой?

Это по сути вопрос "может ли сеперабельное пространство быть равномощным несепарабельному". Знаете ли вы какой-нибудь пример несепарабельного пространства?

[TelmanStud]

alisa-lebovski
Так для произвольного $\varepsilon$ мы не можем на перед указать $M=\deg P(x)$, что
$\rho(f(x),P(x))<\varepsilon$ ,$f(x)\in C[0,1]$. Всегда уменьшая эпсилон у нас будет необходимость в увеличении степени.
И что вы подразумеваете под суммой? Объединение? Не представлю как там у Вас вышло объединение. По подробнее пжл.

-- 04.10.2020, 15:55 --

mihaild
Да, например $l_\infty$ - множество ограниченных последовательностей, с метрикой
\rho(x,y)=\sup\left|x_k-y_k\right|$

[Null]

TelmanStud в сообщении #1485704 писал(а):

Всегда уменьшая эпсилон у нас будет необходимость в увеличении степени.

В этом нет ни чего плохого.

[TelmanStud]

Null
Почему же, получается, что степень должна быть неограниченно большой, и в итоге я имею не конечное декартово произведение, а счетное.

[Slav-27]

TelmanStud в сообщении #1485707 писал(а):

Почему же, получается, что степень должна быть неограниченно большой, и в итоге я имею не конечное декартово произведение, а счетное.

Не произведение, потому что у каждого многочлена только конечное количество ненулевых коэффициентов. Многочленов 0-й степени счётное число, 1-й -- счётное, 2-й -- счётное... Итого счётное объединение счётных. (Произведение было бы, если бы вместо многочленов рассматривать формальные степенные ряды, там нет ограничения на количество ненулевых коэффициентов.)

Про сепарабельность: на любом множестве можно ввести дискретную метрику (расстояние между любыми 2 различными элементами $1$).

[TelmanStud]

Slav-27
Чего то не пойму(. Можете указать, где неправильно рассуждаю
Многочлен с рациональными коэффициентами $a_j\in\mathbb{Q} ,\,j\in \mathbb{N}$: $P(x)=a_0+a_1 x+...+a_n x^n$
Каждый многочлен отождествляется с набором $(a_0,a_1,...,a_n)$
Множество всех таких наборов $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\times...\times \mathbb{Q}$ (n штук)
Почему Вы говорите про объединение?

[Slav-27]

TelmanStud в сообщении #1485713 писал(а):

Можете указать, где неправильно рассуждаю

Пока всё правильно. Вы посчитали многочлены фиксированной степени $n$ (UPD: точнее говоря, степени не выше $n$, как замечает Someone). Осталось 1) понять, что их счётное число, то есть что произведение $\mathbb Q\times\dots\times\mathbb Q$ ($n$ множителей -- КОНЕЧНОЕ количество) счётно, 2) взять ОБЪЕДИНЕНИЕ по всем $n$.

[TelmanStud]

Slav-27 в сообщении #1485714 писал(а):

TelmanStud в сообщении #1485713 писал(а):

Можете указать, где неправильно рассуждаю

Пока всё правильно. Вы посчитали многочлены фиксированной степени $n$. Осталось 1) понять, что их счётное число, то есть что произведение $\mathbb Q\times\dots\times\mathbb Q$ ($n$ множителей -- КОНЕЧНОЕ количество) счётно, 2) взять ОЬЪЕДИНЕНИЕ по всем $n$.

Так ведь этот $n$ не будет фиксирован, у нас необходимость выбирать его больше чем любое заранее заданное число. Получается его нельзя брать конечным(??).

[Slav-27]

Докажите для каждого конечного $n$, потом возьмите объединение по $n$.

[mihaild]

TelmanStud в сообщении #1485704 писал(а):

например $l_\infty$

А сколько в нем элементов (какова его мощность)?

[TelmanStud]

mihaild
Мощность континуум.

[mihaild]

TelmanStud в сообщении #1485719 писал(а):

Мощность континуум

А вы знаете какое-нибудь сепарабельное пространство такой же мощности?

[TelmanStud]

mihaild в сообщении #1485720 писал(а):

TelmanStud в сообщении #1485719 писал(а):

Мощность континуум

А вы знаете какое-нибудь сепарабельное пространство такой же мощности?

$[0,1],\,\rho=\left|x-y\right|$