Целочисленная обратная матрица

[Ingv0rr]

Каков критерий того, что целочисленная матрица имеет целочисленную обратную? Предложите доказательство.

Я понял, что определитель матрицы должен быть кратен 1 или -1, ибо какое еще число имеет целочисленную обратную? Но вопрос в том как это нормально доказать.

[svv]

Какое равенство для определителей следует из $A^{-1}A=E$ ?

Ingv0rr в сообщении #1485544 писал(а):

определитель матрицы должен быть кратен 1 или -1

Что значит «кратен 1»? Что определитель целочисленный? Или что он равен $1$?

[Ingv0rr]

svv в сообщении #1485546 писал(а):

Какое равенство для определителей следует из $A^{-1}A=E$ ?

Ingv0rr в сообщении #1485544 писал(а):

определитель матрицы должен быть кратен 1 или -1

Что значит «кратен 1»? Что определитель целочисленный? Или что он равен $1$?

Да, равен, извините, опечатался. Ну а равенство означает, что их определители обратны?

[artempalkin]

Ingv0rr в сообщении #1485563 писал(а):

их определители обратны

А произведение каких целых чисел даёт $1$? Или, иначе говоря, какие два целых числа обратны друг другу?

[Ingv0rr]

artempalkin в сообщении #1485564 писал(а):

Ingv0rr в сообщении #1485563 писал(а):

их определители обратны

А произведение каких целых чисел даёт $1$? Или, иначе говоря, какие два целых числа обратны друг другу?

Произведение 1 на 1 или -1 на -1.

-- 03.10.2020, 10:44 --

Но почему из $A^{-1}A=E$ следует обратность определителей?

[Brukvalub]

А как связан определитель произведения с определителями сомножителей?

[Ingv0rr]

Brukvalub в сообщении #1485568 писал(а):

А как связан определитель произведения с определителями сомножителей?

detAB = detA*detB

Но как понять, почему за целочисленной матрицей обязательно стоит целочисленный определитель?

[ewert]

Ingv0rr в сообщении #1485569 писал(а):

Но как понять, почему за целочисленной матрицей обязательно стоит целочисленный определитель?

А что такое определитель?

Есть разные его эквивалентные определения. И некоторые из них недвусмысленны.

[Ingv0rr]

ewert в сообщении #1485570 писал(а):

Ingv0rr в сообщении #1485569 писал(а):

Но как понять, почему за целочисленной матрицей обязательно стоит целочисленный определитель?

А что такое определитель?

Есть разные его эквивалентные определения. И некоторые из них недвусмысленны.

На данный момент я понимаю, что определитель - это сумма произведений элементов матрицы из разных строк и разных столбцов, со знаками, определяемыми числом инверсий.

[ewert]

Ingv0rr в сообщении #1485572 писал(а):

На данный момент я понимаю, что определитель - это сумма произведений элементов матрицы из разных строк и разных столбцов, со знаками, определяемыми числом инверсий.

Можно и так. Но если так, то Ваш предыдущий вопрос выглядит крайне странно.

[novichok2018]

Вроде, раз определитель $\pm 1$, алгебраические дополнения целочисленны, то и обратная целочисленная? То есть условия на определитель достаточно?

[ewert]

novichok2018 в сообщении #1485576 писал(а):

Вроде, раз определитель $\pm 1$, алгебраические дополнения целочисленны, то и обратная целочисленная? То есть условия на определитель достаточно?

Да, это верно, но это про обратное утверждение критерия. А там был странный вопрос про утверждение в другую сторону.

[Ingv0rr]

ewert в сообщении #1485570 писал(а):

Ingv0rr в сообщении #1485569 писал(а):

Но как понять, почему за целочисленной матрицей обязательно стоит целочисленный определитель?

А что такое определитель?

Есть разные его эквивалентные определения. И некоторые из них недвусмысленны.

А можете сказать про то определение, о котором вы говорите?

-- 03.10.2020, 11:38 --

ewert в сообщении #1485573 писал(а):

Ingv0rr в сообщении #1485572 писал(а):

На данный момент я понимаю, что определитель - это сумма произведений элементов матрицы из разных строк и разных столбцов, со знаками, определяемыми числом инверсий.

Можно и так. Но если так, то Ваш предыдущий вопрос выглядит крайне странно.

Что вы имеете в виду под странно?

-- 03.10.2020, 11:49 --

Т.е. при определителе равном 1 или -1 обязательно будет целочисленная матрица? Значит какого нибудь умножения, например, 2 на 1/2 не может быть?

[Someone]

Ingv0rr в сообщении #1485582 писал(а):

Что вы имеете в виду под странно?

Ну, ewert — очень вежливый человек. У меня так вообще глаза на лоб вылезли. Ведь из вашего "пересказа" определения

Ingv0rr в сообщении #1485572 писал(а):

определитель - это сумма произведений элементов матрицы из разных строк и разных столбцов, со знаками…

целочисленность определителя матрицы с целочисленными элементами мгновенно следует. Даже непонятно, что тут можно Вам объяснять.
Вы вообще что-нибудь про суммы и произведения целых чисел можете сказать? Например, может ли сумма или произведение целых чисел равняться $0{,}5$?

[ewert]

Я подозреваю, что Ingv0rr никак не может решить, что же он пытается доказать: что из единичности определителя следует целочисленность обратной или что наоборот.