Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми

[alisa-lebovski]

Неравенство Чебышева действительно верно в (немного поправленной, по сравнению с Вашей) форме:

$$P_n(|f(m)-A_n| \leq k\sigma_n) \geq 1-1/k^2,\quad k \geq 1,$$

при любом конечном $n$. Это надо использовать. Закон больших чисел понимается в смысле сходимости $P_n$ (от какого-то неравенства) к единице, мы это уже обсуждали. Аналоги наверное потому, что при каждом $n$ есть вероятностное пространство, а общего нету (но есть предельные вероятности).

[vicvolf]

alisa-lebovski
Согласен. Закон больших чисел для арифметических функций надо понимать в смысле сходимости $P_n$ к 1. Это доказывается через предел вероятности, который существует в данной форме неравенства Чебышева. Предел лучше называть пределом вероятности, а не предельной вероятностью, так он не является вероятностью.

[vicvolf]

Любой начальный отрезок натурального ряда $\{1,2,\dotsc,n\}$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $\mathbb{P}_{n}(A)=\frac{|A|}{n}$. Тогда произвольную (вещественно- или даже комплекснозначную) функцию $f(k)$ натурального аргумента (а точнее, её ограничение на $\Omega_{n}$) можно рассматривать как случайную величину $\xi_{n}$ на этом вероятностном пространстве: $\xi_{n}(k)=f(k)$, $1\leqslant k\leqslant n$.

Тогда для арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ на данном вероятностном пространстве можно записать неравенство Чебышева:

$$P_n(|f(m)-A_n| \leq b\sigma_n) \geq 1 -1/b^2,(1)$$

где значение $b \geq 1$, а $A_n,\sigma_n$ соответственно среднее значение и среднеквадратичное отклонение $f(m), m=1,...,n$.

Положим в (1) $b=b(n)$, где $b(n)$ является неограниченно возрастающей функцией при $n \to \infty$(положим, что $b(n)=O(n^{\epsilon})$ :

$$P_n(|f(m)-A_n| \leq b(n)\sigma_n) \geq 1 -1/b^2(n).(2)$$

Предел $P_n$ в (2) при $n \to \infty$ существует:

$$P_n(|f(m)-A_n| \leq b(n)\sigma_n) \to 1, n \to \infty (3)$$

Выражение (3) является аналогом закона больших чисел для арифметических функций.

Неравенство Чебышева можно записать в другой форме:

$$P_n(|f(m)-A_n| \geq b(n)\sigma_n) \leq 1/b^2(n).(4)$$

или

$$P_n(|f(m)-A_n| \geq b(n)\sigma_n) = O(1/b^2(n)),(5)$$

или

$$\#\{m:m \leq n, |f(m)-A_n| \geq b(n)\sigma_n) = O(n/b^2(n))\}.$$

Асимптотика (5) лучше, чем:

$$P_n(|f(m)-A_n| \geq b(n)\sigma_n) = o(1).(6)$$

Предел $P_n$ в (4) при $n \to \infty$ существует:

$$P_n(|f(m)-A_n| \geq b(n)\sigma_n) \to 0, n \to \infty. (7)$$

Запишем теорему Харди-Рамунаджана в указанных формах (8-10).

Известно, что для арифметической функции количества простых делителей натурального числа $\omega(m),m \leq n$ справедливо: $A_n=\sigma_n^2=\ln\ln(n)$.
Возьмем $b(n)=(\ln\ln(n))^{\epsilon}$, где $\epsilon >0$ и получим:

$$P_n(|\omega(m)-\ln\ln(n)| \leq (\ln\ln(n))^{1/2+\epsilon}) \to 1, n \to \infty.(8)$$

$$P_n(|\omega(m)-\ln\ln(n)| > (\ln\ln(n))^{1/2+\epsilon}) \to 0, n \to \infty.(9)$$

$$P_n(|\omega(m)-\ln\ln(n)| \geq (\ln\ln(n))^{1/2+\epsilon}) =O(1/(\ln\ln(n))^{1/2+2\epsilon}).(10)$$

Обозначим отклонение $\delta=|f(m)-A_n|, m=1,...,n$, тогда аналог закона больших чисел для арифметической функции можно записать в виде:

$$P_n(\delta \leq b(n)\sigma_n) \to 1, n \to \infty. (11)$$

На основании (11) эквивалентные формулировки гипотезы Римана можно записать в виде:

$$P_n(\delta \leq Cn^{1/2+\epsilon}) \to 1, n \to \infty. (12)$$

Учитывая, что $b(n) =O(n^{\epsilon_1})$ на основании (11) и (12) получим, что в эквивалентных формулировках:

$$\sigma_n=O(n^{1/2+\epsilon_2}}),$$

где $\epsilon_2<\epsilon$.

[alisa-lebovski]

В основном правильно, рада, что Вы поняли какие-то вещи.

vicvolf в сообщении #1479610 писал(а):

Известно, что для арифметической функции количества простых делителей натурального числа $\omega(m),m \leq n$ справедливо: $A_n=\sigma_n^2=\ln\ln(n)$.

Они не совсем равны двойному логарифму, а асимптотически, надо уточнить.

vicvolf в сообщении #1479610 писал(а):

На основании (11) эквивалентные формулировки гипотезы Римана можно записать в виде:

$$P_n(\delta \leq Cn^{1/2+\epsilon}) \to 1, n \to \infty. (12)$$

Не совсем понятен переход (поскольку я не работала с гипотезой Римана).

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1479623 писал(а):

vicvolf в сообщении #1479610 писал(а):

Известно, что для арифметической функции количества простых делителей натурального числа $\omega(m),m \leq n$ справедливо: $A_n=\sigma_n^2=\ln\ln(n)$.

Они не совсем равны двойному логарифму, а асимптотически, надо уточнить.

Согласен.

alisa-lebovski в сообщении #1479623 писал(а):

vicvolf в сообщении #1479610 писал(а):

На основании (11) эквивалентные формулировки гипотезы Римана можно записать в виде:

$$P_n(\delta \leq Cn^{1/2+\epsilon}) \to 1, n \to \infty. (12)$$

Не совсем понятен переход (поскольку я не работала с гипотезой Римана).

Если ГР справедлива, то выполняются неравенство: $|f(m)-A_n| \leq Cn^{1/2+\epsilon}$, где $f(m)$ некоторые сумматорные функции: Мертенса, Чебышева и др.

[alisa-lebovski]

Понятно. А это (13) не было известно раньше? Это имеете какую-то научную ценность?

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1479641 писал(а):

Понятно. А это (13) не было известно раньше? Это имеете какую-то научную ценность?

Не знаю. Получается, что если ГР справедлива, то это единая асимптотическая оценка среднеквадратичного отклонения для всех указанных сумматорных функций на интервале $[1,n]$. Например, функции Мертенса.

[Sycamore]

как-бы настораживает то, что ув. vicvolf вроде упорно продолжает оставаться - вновь and again - не точным, не строгим в (критических?) деталях...

[vicvolf]

Sycamore в сообщении #1479646 писал(а):

как-бы настораживает то, что ув. vicvolf вроде упорно продолжает оставаться - вновь and again - не точным, не строгим в (критических?) деталях...

У Вас есть конкретное замечание?

[vicvolf]

Обратим внимание, что для арифметической функции количества простых делителей числа $m$ - $\omega(m)$ выполняется условие $A_n=\sigma_n^2$. Кроме того, $\omega(m)$ является сильно аддитивной арифметической функцией.

Туран доказал, что если арифметическая функция $f(m)$ является сильно аддитивной и для всех простых $p$ удовлетворяет условию: $0 \leq f(p) < c$ и $A_n \to \infty$ при $n \to \infty$, то выполняется следующая форма аналога закона больших чисел:

$$P_n(|f(m)-A_n| \leq b(n)\sqrt {A_n}) \to 1, n \to \infty, (14)$$

т.е. достаточно знать среднее значение арифметической функции - $A_n$.

Кроме $\omega(m)$ данным условиям удовлетворяет функция $|\ln \frac {\varphi(m)} {m}|$. Определим среднее значение данной арифметической функции:

$$A_n=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {\ln|\frac {\varphi(m)} {m}|}.(15)$$

Воспользуемся тем, что в (15) значение $\frac {\varphi(m)} {m}=\prod_{p \leq m} {(1-1/p)} \sim \frac {e^{-\gamma}}{\ln(m)}$ и получим:

$$A_n=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|\ln \frac {\varphi(m)} {m}|} \sim \gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}=\gamma+\ln\ln(n)+O(1/\ln(n)),(16)$$

где $\gamma$ - постоянная Эйлера.

Возьмем $b(n)=(\ln\ln(n))^{\epsilon}$, подставим $A_n$ из (16) в (14) и получим аналог закона больших чисел для данной арифметической функции:

$$P_n(||\ln \frac {\varphi(m)} {m}|-\ln\ln(n)| \leq (\ln\ln(n)^{1/2+\epsilon}) \to 1, n \to \infty. (17)$$

[vicvolf]

Напомню, что любой начальный отрезок натурального ряда $\{1,2,\dotsc,n\}$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $\mathbb{P}_{n}(A)=\frac{|A|}{n}$. Тогда произвольную (вещественно- или даже комплекснозначную) функцию $f(k)$ натурального аргумента (а точнее, её ограничение на $\Omega_{n}$) можно рассматривать как случайную величину $\xi_{n}$ на этом вероятностном пространстве: $\xi_{n}(k)=f(k)$, $1\leqslant k\leqslant n$.

Таким образом, каждой арифметической функции $f(k)$ можно сопоставить последовательность случайных величин $\xi_{n}$ (живущих на разных вероятностных пространствах). Каждая такая случайная величина имеет функцию распределения, поэтому естественно рассмотреть вопрос о сходимости последовательности функций распределения, соответствующей арифметической функции и о предельной функции распределения.

В 1939 г. Эрдеш и Кац доказали, что для арифметической функции $\omega(m)$ предельной функцией распределения является нормальное, т.е. для для любого $x\in\mathbb{R}$ выполнено:

$$P_n(\frac{\omega(m)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\leqslant x\right\}\right\rvert) \to \Phi(x),n \to \infty (18)$$

где $\Phi(x)$ - функция стандартного нормального распределения.

Напомню, что для сильно аддитивных функций $h(m)$ при любом простом $p$ и натуральном $a$ выполняется $h(p^a)=h(p)$.
Для каждого простого $p \leq n$ введем случайную величину $h^{(p)}(m)$. Значение $h^{(p)}(m)=h(p), p|m$, значение $h^{(p)}(m)=0$ в противном случае. Поэтому случвйная величина $h^{(p)}(m)$ принимает значение $h(p)$ с вероятностью $\frac {1}{n} [\frac {n}{p}]$ и значение $0$ с вероятностью $1-\frac {1}{n} [\frac {n}{p}]$. Таким образом:

$$h(m)=\sum_p {h^{(p)}(m)}.(19)$$

Кубилюс доказал, что (19) является суммой асимптотически независимых случайных величин. Было доказано, что если $f(m)$ является сильно аддитивной арифметической функцией и для всех простых $p$ выполняется $|f(p)| \leq 1$ и $A_n \to \infty,n \to \infty$, тогда:

$$P_n(\frac{f(m)-A_n}{\sqrt{A_n}}\leqslant x\right\}\right\rvert) \to \Phi(x),n \to \infty.(20)$$

Арифметическая функция $|\ln\varphi(m)/m|$ удовлетворяет поставленным условиям и поэтому сходится к нормальному распределению при $n \to \infty$.

[vicvolf]

Ширяев в начале своих лекций по теории вероятностей говорит, что теория вероятностей изучает не только объекты случайной природы, но и детерминированные достаточно сложные объекты, которые плохо описываются другими методами. Применение теории вероятности к теории чисел изучает - вероятностная теория чисел.

Один из таких детерминированных объектов мы уже рассматривали - это арифметические функции. Теперь займемся другим вполне детерминированным объектом - простые числа. Действительно, методами теории чисел до сих пор не доказана гипотеза о бесконечности простых близнецов, хотя вероятностными методами Харди и Литтлвуд дали точную оценку их количества. Сходная картина с другими гипотезами о простых числах.

Начну с повторения. Плотностью подмножества натурального ряда на интервале $[1.n]$ называется:

$$\frac {\#\{m:m \leq n,m \in A\}}{n}, (21)$$

где $A$ - подмножество натурального ряда.

Сравним (21) с определением вероятностной меры нашего вероятностного пространства на начальном отрезке натурального ряда $[1.n]$ и убедимся, что плотность подмножества натурального ряда является именно этой конечной вероятностной мерой:

$$P_n(m \in A)=\frac {\#\{m:m \leq n,m \in A\}}{n}. (22)$$

Теперь найдем предел данной плотности при $n \to \infty$, если он конечно существует:

$$\lim_{n \to \infty}{P_n(m \in A)}=\lim_{n \to \infty}{\frac {\#\{m:m \leq n,m \in A\}}{n}}. (23)$$

Этот предел, если он существует, называется асимптотической плотностью подмножества натурального ряда. Легко устанавливается, что асимптотическая плотность не является вероятностью, так как не обладает свойством счетной аддитивности.

Посмотрим, какая ошибка получится, если положить асимптотическую плотность подмножества натурального ряда вероятностью, на одном из подмножеств натурального ряда - последовательности простых чисел.

Асимптотический закон простых чисел запишем в виде:

$$\pi(n)=\frac {n}{\log(n)}(1+o(1)).(24)$$

На основании (24) плотность подмножества простых чисел или вероятность выбрать наугад простое число из интервала $[1,n]$ равна:

$$P_n(m=p)=\frac {\pi(n)}{n}=\frac {1}{\ln(n)}(1+o(1)).(25)$$

С другой стороны, вероятность, что натуральное число $n$ делится нацело на простое число $p$ равна:

$$\frac {1}{n}[\frac {n}{p}].(26)$$

Поэтому предел вероятности (26) при $n \to \infty$ (асимптотическая плотность), который, на основании сказанного выше, не является вероятностью, равен:

$$\lim_{n \to \infty}{\frac {1}{n}[\frac {n}{p}]}=1/p.(27)$$

Предположим, что $1/p$ является вероятностью, что натуральное $n$ делится нацело на простое число $p$. Тогда вероятность, что натуральное $n$ не делится нацело на простое число $p$ равно $1-1/p$. Учитывая, что при указанных предположениях, натуральное число $n$ делится нацело на простые числа $p_1,p_2,...,p_l$ равно $\frac {1}{p_1p_2...p_l}$ можно считать эти события независимы. Поэтому учитывая, что в этом случае, также независимы противоположные события, вероятность, что натуральное число не делится нацело на простые числа $p_1,p_2,...,p_l$ равно: $\prod_{i \leq l} (1-1/p_i)$.

Используя решето Эратосфена, при указанных предположениях, вероятность, что наудачу выбранное натуральное число из интервала $[1,n]$ является простым (в смысле плотности простых чисел на данном интервале) равна:

$$\prod_{p \leq \sqrt {n}} (1-1/p).(28)$$

На основании теоремы Мертенса выражение (28) равно:

$$\prod_{p \leq \sqrt {n}} (1-1/p)=\frac{2e^{-\gamma}}{\ln(n)}(1+o(1)),(29)$$

где $\gamma$ - постоянная Эйлера.

Сравним асимптотики (25) и (29). Главные члены этих асимптотик различаются на постоянную $2e^{-\gamma}$.

[Otta]

vicvolf в сообщении #1479874 писал(а):

Воспользуемся тем, что в (15) значение $\frac {\varphi(m)} {m}=\prod_{p \leq m} {(1-1/p)} \sim \frac {e^{-\gamma}}{\ln(m)}$ и получим:

$$A_n=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|\ln \frac {\varphi(m)} {m}|} \sim \gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}=\gamma+\ln\ln(n)+O(1/\ln(n)),(16)$$

Не особо вдаваясь в остальное. Вы переходите к эквивалентности в сумме. Нельзя.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1480207 писал(а):

Сравним асимптотики (25) и (29). Главные члены этих асимптотик различаются на постоянную $2e^{-\gamma}$.

По-моему, вторая неправильная. Нельзя сразу переходить к пределу в множителях. Там хитро: с одной стороны, множители сходятся, а с другой стороны - их количество в произведении растет.

Otta в сообщении #1480215 писал(а):

Вы переходите к эквивалентности в сумме. Нельзя.

То же самое: слагаемые эквиваленты, но их количество растет. Может не получиться такой ответ.

[Otta]

alisa-lebovski в сообщении #1480224 писал(а):

То же самое: слагаемые эквиваленты, но их количество растет. Может не получиться такой ответ.

Ну это уже не говоря о том, что применение эквивалентности для младших слагаемых совершенно необоснованно.