Система уравнений

[Айват]

Докажите, что система уравнений не имеет решений
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x^3+7x^2+16x+15=0 \\ 4+(2x+7)^{y-3}*(y-1+\frac 3 x)=y+5^{x-2y}*\sqrt{2x^2(2x+6)+(2x+3)^2+9x} \end{array} \right. $
Я установил, что первая функция монотона и возрастает на всем промежутке.
А что дальше делать не знаю...Как можно преоборазовать вторую функцию?

[Prokop]

Для первого уравнения находим корни. Один корень вещественный. Подставив его во второе уравнение, убеждаемся в том, что вещественных решений нет.

[Айват]

Понятно) А первое уравнение по формуле Кордана решать что ли? Но это в школе же не проходят.....

[Prokop]

Не надо формулы Кордана. Уравнение имеет рациональный корень -3/2.

[Brukvalub]

Единственный вещественный корень первого уравнения расположен на интервале (-2 ; -1). Осталось проверить. входит ли этот интервал в область определения второго уравнения системы.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Единственный вещественный корень первого уравнения расположен на интервале (-2 ; -1). Осталось проверить. входит ли этот интервал в область определения второго уравнения системы.

"Пересекается ли". Увы, пересекается.

Так что единственный, видимо, вариант решения -- тот, что дал Prokop. Как вульгарено этот вариант ни выгллядит.

[Айват]

извините, но как вы получили корень -3\2????

[ewert]

Методом научного тыка. Рациональное число может быть корнем только тогда, когда свободный член делится на числитель, а старший коэффициент -- на знаменатель. Эту-то процедуру в школе вроде как раз проходят (хотя и не в любой).

[Айват]

А вот мы как раз это не прохидили. А как этот способ называется?

[ewert]

Да, я немножко погорячился с "единственностью". Идею Brukvalub'а всё-таки можно реализовать, только в другой постановке. Дело в том, что под корнем фактически стоит $2x^2-11x-21$. И если бы вдруг оказалось, что на промежутке между корнями этого квадратного трёхчлена тот (кубический) многочлен меняет знак, то -- всё, решений не было бы.

[ShMaxG]

Подобная задача мне попалась на ЕГЭ в 2007-м. Я решал так:
1) Заметим, что производная функции

\[ y = 2x^3 + 7x^2 + 16x + 15 \]

всегда больше нуля, следовательно, эта функция всегда возрастает, и это уравнение имеет единственный корень.
2) Преобразуем подкоренное уравнение во втором уравнении системы:

\[ \begin{gathered} 2x^3 + 7x^2 + 16x + 15 = 0 \hfill \\ 2x^2 \left( {2x + 6} \right) + \left( {2x + 3} \right)^2 + 9x = 4x^3 + 12x^2 + 4x^2 + 12x + 9 = \hfill \\ = 4x^3 + 12x^2 + 4x^2 + 12x + 9 + 9x - 2\left( {2x^3 + 7x^2 + 16x + 15} \right) = \hfill \\ = 12x^2 + 4x^2 + 12x + 9 + 9x - 14x^2 - 32x - 30 = \hfill \\ = 2x^2 - 11x - 21 = 2\left( {x + \frac{3} {2}} \right)\left( {x - 7} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

.

Подставляя значение -1,5 в первое уравнение - убеждаемся это этот корень подходит, а т.к. у нас дана система уравнений, то во втором уравнении системы тот длинный корень обнуляется. Дальше - дело техники.

[VAL]

Айват писал(а):

Понятно) А первое уравнение по формуле Кордана решать что ли? Но это в школе же не проходят.....

Айрат! За что Вы так великого итальянского ученого Джероламо Кардано? Что он Вам плохого сделал?

Что же до системы, то это стандартное задание С5 из ЕГЭ.
Находим ОДЗ второго уравнения. Из него выползает корень первого - -3/2. И т.д.

Или находим сначала рациональный корень первого уравнения, рассматривая числа вида a/b, где a - целый делитель 15, а b - натуральный делитель 2. Убеждаемся, что он - единственный. И т.д.

[Айват]

Меня Айват звать....а его фамилию написал с ошибкой за незнанием как она правильно пишется
Спасибо за то, что объяснили! Теперь все ясно!

[VAL]

Айват писал(а):

Меня Айват звать....

Будем считать, что это маленькая (подсознательная) месть за Кардано

[Айват]

Собрал полностью решение....хотелось бы выслушать недочеты...как можно было бы проще решить(только учитывая, что это 11 класс)
1. Рассмотрел подкоренное выражение из второго уравнения.
$2x^2(2x+6)+(2x+3)^2+9x=4x^3+16x^2+21x+9$
Далее по теореме Безу установил, что многочлен делится на $x+1$ Поделил по схеме Горнера и получил $(x+1)(4x^2+12x+9)=(x+1)(2x+3)^2$
Это выражение должно быть больше или равно нулю. Соответсвенно ОДЗ тогда $x=-1,5$ и $x>1$
2. Исследуем первое уравнение. $f'(x)\neq 0$ и $f'(x)>0$ Из всего этого следует, что уравнение имеет только один корень.
Подствляем $x=-1,5$ в первое уравнение и у нас получается верное числовое равенство, т.е. он и является корнем первого уравнения. (Совершено не понятно с чего бы это вдруг я должен был поствлять это значение в первое уравнение, но он является корнем)
3. Найденное значение подствляем во второе уравнение
$4+4^{y-3}(y-1-2)=y$
$4^{y-3}(y-3)=y-4$
$4^{y-3}=\frac{y-4}{y-3}=1-\frac 1{y-3}$
Далее рассомрим случаи:
$y>3$
$ \left\{ \begin{array}{l} 1-\frac 1{y-3}<1 \\ 4^{y-3}>1 \end{array} \right. $
$y<3$
$ \left\{ \begin{array}{l} 1-\frac 1{y-3}>1 \\ 4^{y-3}<1 \end{array} \right. $
Чего быть не может. Из всего этого следует, что исходная система не имеет нерешений.
P.S. Хотелось бы узнать, как еще можно решить(используя производную к подкоренному выражению, не получалось у меня, может я неправильно что-то использовал). Я понял, что первое уравнение имеет вещественное( не знаю как назвать) решение только вида a\b, где a - целый делитель 15, а b - натуральный делитель 2. Но здесь некоторые товарищи решали, просто подствляя найденное из ОДЗ значения х, и убеждались в правильности найденного корня. То есть меня больше всего волнует, именно нахождения этого корня $x=-1.5$... кроме способа описанного выше, можно еще как-нибудь найти корень первого уравнения?