На сколько частей двумерная сфера делится плоскостями

[vadimm]

На сколько частей делят поверхность сферы $n$ плоскостей, которые проходят через центр этой сферы и никакие три из которых не проходят через одну прямую?

Это вроде бы называется, что плоскости находятся в общем положении. Я знаю подобную задачу с плоскостью и разбивающими её прямыми. Прямые общего положения - это такие прямые, любые две из которых не параллельны и любые три не проходят через общую точку. Ответ для такой задачи я знаю. Единица плюс сумма первых $n$ чисел натурального ряда. В данном случае $n$ - число прямых, разбивающих плоскость.

Что будет в случае сферы с плоскостями представить посложнее. Но ответ я тоже где-то видел. Он равен вроде бы $n^2 - n + 2$. Хотя не уверен. Нужно думать, но пока не знаю, что думать? Нужно определится с числом частей при небольших $n$.

Пусть $k$ - число частей сферы. При $n = 1, 2, 3, \dots$ получаем $k = 2, 4, 8, \dots$. Так?

[Null]

Стандартная идея - индукция, посмотрите сколько частей добавит новая большая окружность(столько у нее точек пересечения с другими окружностями)

[vadimm]

А как будет проходить через центр сферы третья окружность (плоскость), чтобы не было общей прямой? По-моему третья плоскость будет иметь общую прямую с двумя первыми. Не могу представить.

[slavav]

Три взаимно перпендикулярные плоскости.

[vadimm]

Я порисовал и вроде бы начинаю представлять. При $n = 1, 2, 3, \dots$ получается все таки число частей $k = 2, 4, 8, \dots$

[svv]

Но ясно, что долго так продолжаться не может, потому что, когда частей много, следующая большая окружность не каждую из них разделит на две части.

-- Вс июл 19, 2020 19:56:55 --

Null в сообщении #1474565 писал(а):

посмотрите сколько частей добавит новая большая окружность(столько у нее точек пересечения с другими окружностями)

[vadimm]

Одна плоскость делит на две части. Добавляем еще одну (вторую) плоскость, число частей увеличивается на два. Получается четыре части. Добавляем еще одну (третью). Число частей увеличивается на четыре и становится восемь частей. То есть добавление $n$-й плоскости увеличивает число частей похоже на $2(n-1) $ по сравнению с предыдущим числом. А как получить итоговую формулу? Я плохо понимаю.

[svv]

vadimm в сообщении #1474628 писал(а):

добавление $n$-й плоскости увеличивает число частей похоже на $2(n-1) $ по сравнению с предыдущим числом

Давайте сначала разберёмся, почему это верно — для уверенности, что закономерность соблюдается и дальше (ведь из первых значений $k=2,4,8...$ можно было ошибочно подумать, что дальше будет $k=16,32,64...$).
Я переформулирую:
Когда больших окружностей $n>0$, добавление следующей увеличивает число частей на $2n$.
Попробуйте это обосновать. Представьте, что $n$ окружностей уже есть, и Вы обходите сферу по новой окружности, прочерчивая её. Вы то встречаете уже имеющиеся окружности (сколько раз?), то «разрезаете» куски на две части...

[vadimm]

Как я понимаю, если мы прочерчиваем на сфере новую $n$-ю окружность, то встречаем каждую другую окружность два раза. На одной части полусферы и на другой. Таких окружностей, уже ранее прочерченных, у нас $(n-1)$.

-- 19.07.2020, 21:25 --

UPD. Если я Вас правильно понял? Спасибо за объяснение. Так весьма очевиднее. Или я не правильно понимаю?

[svv]

Да, правильно.
Теперь заметьте, что после каждой встречи с уже имеющейся окружностью мы принимаемся делить надвое какой-то кусок. Вывод?

-- Вс июл 19, 2020 21:46:45 --

vadimm в сообщении #1474653 писал(а):

встречаем каждую другую окружность два раза

Кстати, заметьте, что это гарантируется только для больших окружностей, т.е. у которых центр совпадает с центром сферы. А произвольные окружности на сфере могут вообще не пересекаться (как, например, параллели земного шара).

[vadimm]

svv в сообщении #1474659 писал(а):

Теперь заметьте, что после каждой встречи с уже имеющейся окружностью мы принимаемся делить надвое какой-то кусок. Вывод?

Тут не очень понимаю. Что мы хотим получить?

[svv]

Сколько раз мы встретили "старые" окружности, столько кусков разрезали. Скорее всего, Вы это и так понимали.

[vadimm]

Ну да. Не то, чтобы сходу понимал. Но тут подсказали же. В своем сознании я это явно не увидел. Поэтому постулировал эту идею.

Null в сообщении #1474565 писал(а):

... посмотрите сколько частей добавит новая большая окружность(столько у нее точек пересечения с другими окружностями)

[svv]

Тут поможет такой образ: встретили окружность — разрезали кусок — встретили окружность — разрезали кусок — ... и так далее.
Ок. А при каждом разрезании что с общим числом кусков происходит?

Итог сформулируйте в виде: имея столько-то окружностей и добавляя новую, мы добавляем столько-то новых кусков.
А, хотя Вы это уже написали выше. Тогда просто подтвердите, что теперь с этим всё понятно.

[Утундрий]

Попробуйте рассмотреть нормали к плоскостям.