Деление и умножение в столбик

[DfdQwd]

Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, как ученику 9-го класса: почему работает деление и умножение в столбик? Очевидно, что сам алгоритм знает каждый школьник (и я в том числе), но на каких основаниях держится данный метод?

[kotenok gav]

Все весьма просто: $(10a+b)\times(10c+d)=(10ad+bd)+10(10ac+bc)$.

[DfdQwd]

kotenok gav в сообщении #1473572 писал(а):

Все весьма просто: $(10a+b)\times(10c+d)=(10ad+bd)+10(10ac+bc)$.

А деление в таком случае?

[StaticZero]

DfdQwd в сообщении #1473576 писал(а):

А деление в таком случае?

Ну тут вы уж сами, как раз попытки решения будут. Вот пример:

$$ \frac{5538}{25} = \underbrace{(25 \times 2) \times 10^2}_{5000, R = 53'8} + \underbrace{(25 \times 2)\times 10^1}_{500, R = 38} + \underbrace{(25 \times 1) \times 10^0}_{25, R = 13} + 13 $$

$R$ на каждом шагу показывает остаток. $53'8$ означает, что в столбик вы типа "делите" число 53, хотя на самом деле $538$.

Поищите ещё метод вычисления квадратного корня в столбик. Вот с этим можно будет как раз на форуме и поразвлечься...

[DfdQwd]

StaticZero в сообщении #1473579 писал(а):

DfdQwd в сообщении #1473576 писал(а):

А деление в таком случае?

Ну тут вы уж сами, как раз попытки решения будут. Вот пример:

$$ \frac{5538}{25} = \underbrace{(25 \times 2) \times 10^2}_{5000, R = 53'8} + \underbrace{(25 \times 2)\times 10^1}_{500, R = 38} + \underbrace{(25 \times 1) \times 10^0}_{25, R = 13} + 13 $$

$R$ на каждом шагу показывает остаток. $53'8$ означает, что в столбик вы типа "делите" число 53, хотя на самом деле $538$.

Поищите ещё метод вычисления квадратного корня в столбик. Вот с этим можно будет как раз на форуме и поразвлечься...

Простите...Но, можно ли ещё чуть-более подробно разъяснить про деление? Просто возникают трудности, особенно, когда деление касается десятичных дробей
А трудности-то вот в чём: Допустим, что мы хотим разделить одно число на другое. Тогда, мы можем разложить делимое на сумму чисел, каждое из которых максимально кратно делителю.
Допустим, мы хотим поделить 123 на 4. Тогда, 123 можно разложить на сумму 120 и 3 (то есть на числа, максимально кратные делителю). Следовательно, у нас получится 30 и 3 в остатке. Остаток можно также поделить на 4, представив в виде дроби $\frac{3}{4}$ .
Но вот незадача: при делении десятичных дробей помимо целой части, наличествует и дробная. Я подумал, что можно представить деление десятичной дроби на число или другую десятичную дробь в виде уравнения.
Итак, допустим мы хотим разделить 126,4 на 3,2. Результат равен некоему x. Тогда, домножив обе части уравнения на 10 в степени, равной наибольшему количеству цифр после запятой у десятичной дроби нашего уравнения (количество цифр после запятой может быть равно у обоих дробей), мы тем самым избавимся от десятичных дробей в нашем уравнении и результат деления придётся поделить на 10 в соответствующей степени (чтобы узнать наконец, чему же равен наш x).
Но правомерно ли это? И вообще, относится ли это хоть как-нибудь к методу деления столбиком?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

DfdQwd в сообщении #1473589 писал(а):

мы тем самым избавимся от десятичных дробей в нашем уравнении и результат деления придётся поделить на 10 в соответствующей степени

В какой "соответствующей"? Если мы домножали обе части уравнения на одно и то же, то у нового уравнения те же решения, что и у старого.

DfdQwd в сообщении #1473589 писал(а):

И вообще, относится ли это хоть как-нибудь к методу деления столбиком?

Это сведение деления десятичных дробей к делению целых чисел. Дальше целые числа можно делить как угодно, например столбиком.
В принципе можно делить уголком и сразу десятичные дроби - любое целое число допускает однозначную запись в виде $d \cdot r + q$, где $d$ целое, $q < r$ (предполагая $r > 0$).

[DfdQwd]

Особенно возникают вопросы тогда, когда необходимо выполнить деление меньшего числа на большее. Ну вот допустим: мы хотим разделить 1 на 2, т.е $\frac{1}{2}$ . Очевидно, что эту дробь можно представить в виде $\frac{5}{10}$ и получить заветные 0,5. Но, в оформлении столбиком это выглядит так, как-будто мы из ниоткуда берём десять и делим это число на 2, не забывая расставить запятые в нужных местах.
Но, вроде как я догадался. Результат деления 1 на 2 - меньше нуля, или $\frac{1}{2}$ $\leqslant0$ (на самом деле, строго меньше, но в LaTeX я не нашёл строгого неравенства). Следовательно, отсюда и появляется ноль целых. Далее, деление 1 на 2 можно представить в виде уравнения, где каждая часть умножается (в нашем случае) на десять, а затем, после выполнения деления, на это же число и делится.
Но, опять-таки, не видно общего алгоритма (как например, в случае умножения, сложения и вычитания столбиком).

[mihaild]

DfdQwd в сообщении #1473606 писал(а):

не видно общего алгоритма

Записываете делимое в виде десятичной дроби (добавив бесконечное количество нулей после запятой при необходимости). Дальше делим как обычно, почти игнорируя запятую в делимом. Только нужно будет в какой-то момент (догадайтесь сами, в какой) поставить запятую в частном.

DfdQwd в сообщении #1473606 писал(а):

но в LaTeX я не нашёл строгого неравенства

Просто <: $<$.

[DfdQwd]

mihaild в сообщении #1473621 писал(а):

DfdQwd в сообщении #1473606 писал(а):

не видно общего алгоритма

Записываете делимое в виде десятичной дроби (добавив бесконечное количество нулей после запятой при необходимости). Дальше делим как обычно, почти игнорируя запятую в делимом. Только нужно будет в какой-то момент (догадайтесь сами, в какой) поставить запятую в частном.

DfdQwd в сообщении #1473606 писал(а):

но в LaTeX я не нашёл строгого неравенства

Просто <: $<$.

То есть, деление столбиком числа а на число b происходит так: число a представляем в виде суммы кратных b чисел (остаток делим по возможности). Теперь, пытаемся каждое из полученных нами чисел разделить нацело на b, и результат деления записываем в виде суммы полученных нами частных.
Например, разделим число 225 на 3. 225 можно разложить на сумму 210 и 15, каждое из которых делится на 3 (делитель). Нам лишь только остаётся сложить дроби $\frac{210}{3}$ и $\frac{15}{3}$ , т.е. сложить 70 и 5, получив в результате 75.
Теперь, попробуем разделить, например, 243 на 6. 243 можно разложить на сумму 240 и 3. Теперь попытаемся сложить результаты деления, а именно 40 и $\frac{3}{6}$. Дробь $\frac{3}{6}$ можно делить дальше, представив 3 в виде бесконечной десятичной дроби. В результате, мы получим 0,5. Остаётся сложить 40 и 0,5: 40 + 0,5 = 40,5.
Однако, не получается всё алгоритмизировать, как в случае с вычитанием/сложением или умножением в столбик. Или вышеприведённый алгоритм (в первом абзаце моего сообщения) всё-таки является алгоритмом деления в столбик?

[mihaild]

DfdQwd в сообщении #1473633 писал(а):

Теперь попытаемся сложить результаты деления, а именно 40 и $\frac{3}{6}$

При такой конструкции не должен возникать результат $\frac{3}{6}$. Мы делим число $243,0000\ldots$ на $6$. Сначала поделили $240$, получили $40$. Теперь делим $3.0000\ldots$. Делим $3.0$, получаем $0.5$, и осталось поделить $0.00\ldots$, что можно не делать.

[DfdQwd]

mihaild в сообщении #1473635 писал(а):

DfdQwd в сообщении #1473633 писал(а):

Теперь попытаемся сложить результаты деления, а именно 40 и $\frac{3}{6}$

При такой конструкции не должен возникать результат $\frac{3}{6}$. Мы делим число $243,0000\ldots$ на $6$. Сначала поделили $240$, получили $40$. Теперь делим $3.0000\ldots$. Делим $3.0$, получаем $0.5$, и осталось поделить $0.00\ldots$, что можно не делать.

Понял. Но алгоритм-то всё-таки верный?

[StaticZero]

DfdQwd в сообщении #1473633 писал(а):

Или вышеприведённый алгоритм (в первом абзаце моего сообщения) всё-таки является алгоритмом деления в столбик?

Ну, я вам написал уже по поводу, но вы, наверное, не поняли.

Вот вы берёте число 5538 и делите его на 25. Вам надо посмотреть на первые две цифры. Хватает их для деления? Если да, то вы пишете

$$ 5538 = 5500 + 38. $$

Теперь вы продолжаете работать с числом $55 = 25 \times 2 + 5$. Пишете это туда в сумму:

$$ 5538 = (25 \times 2 + 5) \times 10^2 + 38 $$

и отделяете мусор:

$$ 5538 = (25 \times 2) \times 10^2 + 38 + 5 \times 10^2 = (25 \times 2) \times 10^2 + 538. $$

Теперь вы проводите эту процедуру для числа 538 и до конца, пока у вас не закончатся числа.

Аналогично рассмотрим число 2398. Первых двух цифр не хватает, чтобы поделить их на 25, значит надо взять три:

$$ 2398 = 2390 + 8 $$

и теперь делить 239 на 25. Ну понятно, что это 9, тогда

$$ 2390 = (25 \times 9) + 14 $$

и пихаете это в сумму

$$ 2398 = (25 \times 9 + 14)\times 10^1 + 8 = (25 \times 9) \times 10^1 + 148 $$

ну и повторяете это для 148, и так далее.

И разберите корень всё-таки, это вас продвинет.

[DfdQwd]

StaticZero в сообщении #1473637 писал(а):

DfdQwd в сообщении #1473633 писал(а):

Или вышеприведённый алгоритм (в первом абзаце моего сообщения) всё-таки является алгоритмом деления в столбик?

Ну, я вам написал уже по поводу, но вы, наверное, не поняли.

Вот вы берёте число 5538 и делите его на 25. Вам надо посмотреть на первые две цифры. Хватает их для деления? Если да, то вы пишете

$$ 5538 = 5500 + 38. $$

Теперь вы продолжаете работать с числом $55 = 25 \times 2 + 5$. Пишете это туда в сумму:

$$ 5538 = (25 \times 2 + 5) \times 10^2 + 38 $$

и отделяете мусор:

$$ 5538 = (25 \times 2) \times 10^2 + 38 + 5 \times 10^2 = (25 \times 2) \times 10^2 + 538. $$

Теперь вы проводите эту процедуру для числа 538 и до конца, пока у вас не закончатся числа.

Аналогично рассмотрим число 2398. Первых двух цифр не хватает, чтобы поделить их на 25, значит надо взять три:

$$ 2398 = 2390 + 8 $$

и теперь делить 239 на 25. Ну понятно, что это 9, тогда

$$ 2390 = (25 \times 9) + 14 $$

и пихаете это в сумму

$$ 2398 = (25 \times 9 + 14)\times 10^1 + 8 = (25 \times 9) \times 10^1 + 148 $$

ну и повторяете это для 148, и так далее.

И разберите корень всё-таки, это вас продвинет.

Спасибо. Благодаря вам, деление в столбик стало для меня таким же ясным, как солнце на нашем небе !