Планиметрический тупик 2.

[syaomyao]

Внyтри трeугoльникa $ABC$ взяли трeугoльник $A_1B_1C_1$ так, что eгo сторoны сooтвecтвенно пappалельны сторонам треугольника $ABC$. Докажите, что пpямыe $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точкe.



Я понимаю, как это сделать через подобие (треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, а дальше от противного, предополагаем, что пересекаются не в одной точке, от противного доказываем то, что точки $P,Q,R$ совпадают через отношение пропорциональных отрезков трех пар подобных треугольников). Но интересно, можно ли развернуть идею через теорему Фалеса?

Ясно, что по теореме Фалeca $\dfrac{A_1P}{AA_1}=\dfrac{PB_1}{BB_1}$, а также $\dfrac{RC_1}{CC_1}=\dfrac{RB_1}{BB_1}$ и $\dfrac{QA_1}{AA_1}=\dfrac{QC_1}{CC_1}$. Есть подозрение, что

$$\dfrac{A_1P}{AA_1}=\dfrac{PB_1}{BB_1}=\dfrac{RC_1}{CC_1}=\dfrac{RB_1}{BB_1}=\dfrac{QA_1}{AA_1}=\dfrac{QC_1}{CC_1}$$

Но как это доказать?

[DeBill]

syaomyao в сообщении #1472960 писал(а):

Но как это доказать?

Ну, видимо, все равно надо испльзовать как то подобие тех двух...
Но я, собственно, хотел сказать о другом: в первом решении есть дырка (использование чертежа; картинка может быть иной!)

[vpb]

syaomyao в сообщении #1472960 писал(а):

Но интересно, можно ли развернуть идею через теорему Фалеса?

А зачем ? У вас не планиметрический тупик, а скорее психологическая неправильность (или методологическая...). Я имею в виду вот что. Никогда не понимал желания найти несколько разных решений одной задачи. Точнее, такое желание можно понять, но только в некоторых специальных случаях. Я же обычно так считаю: если есть решение задачи, и оно правильное и достаточно эстетичное , так зачем искать другое ? Другое дело, если пришло в голову решение, которое в два раза проще, чем существующее... (Впрочем, другие люди на этот вопрос по другому смотрят. Недаром есть сто и более доказательств теоремы Пифагора. )

Также отмечу, что теоремой Фалеса называется, традиционно, другое утверждение. А тут теорема о прпорциональных отрезках.

[syaomyao]

DeBill в сообщении #1472964 писал(а):

Ну, видимо, все равно надо испльзовать как то подобие тех двух...

А как именно, вот этого я и не могу понять.

DeBill в сообщении #1472964 писал(а):

Но я, собственно, хотел сказать о другом: в первом решении есть дырка (использование чертежа; картинка может быть иной!)

Какой? Все равно ведь будут 3 точки пересечения в ситуации от противного!

-- 08.07.2020, 22:25 --

vpb в сообщении #1472966 писал(а):

А зачем ?

Любопытство

-- 08.07.2020, 22:25 --

vpb в сообщении #1472966 писал(а):

Также отмечу, что теоремой Фалеса называется, традиционно, другое утверждение. А тут теорема о прпорциональных отрезках.

теорема о пропорциональных - обобщенная теорема Фалеса

[StaticZero]

syaomyao, ну раз уж вам интересно.

Идея: давайте возьмём две прямые, исходящие из вершин $A$ и $B$, которые пересекаются в $P$ внутри треугольника. Допустим, что возможна ситуация, как на рисунке. Ну подъедем тогда точкой $A_1$ в отрезок $PQ$. Рисунок развалится моментально. Значит, такого не бывает.

Формально:
Пусть заданы два луча $\alpha$ и $\beta$, исходящие из $A$ и $B$ и идущие внутрь треугольника. Их точка пересечения $P$. Рассмотрим множество пар точек $A_1 \in \alpha$, $B_1 \in \beta$ таких, что $A_1 B_1 \parallel AB$ и $A_1 \in AP$, $B_1 \in BP$. Для каждой такой пары можно построить точку $C_1$ следующим образом: через $A_1$ проводим прямую вдоль $AC$, через $B_1$ проводим прямую $BC$, $C_1 = AC \cap BC$.

1) Покажите, что геометрическое место точек $C_1$ для всех допустимых пар $(A_1, B_1)$ представляет собой отрезок с началом в $C$. Обозначим его второй конец $W$.

2) Что можно сказать о расстоянии $|WP|$?

[abicorios]

Могу представить себе основу третьего доказательства. Можно представить что большой треугольник скопирован не меняя положения, потом он плавно уменьшается без вращения совпадая с маленьким треугольником, потом продолжает уменьшаться схлопываясь в точку, при этом его вершины чертят прямые линии проходящие через вершины большого и маленького треугольника и сходятся в точку. Возможно даже где-то есть математический аппарат чтобы это в виде символов записать, может в проективной геометрии или в какой-то разновидности топологии, точно не знаю.
В принципе можно было бы представить треугольники в полярной системе координат, и как с течением времени уменьшается масштабный коэффициент. Или, можно представить их как проекцию трехмерной пирамиды на плоскость. Основание пирамиды это большой треугольник, сечение пирамиды параллельной плоскостью это маленький треугольник, а вершина пирамиды это точка в которой сходятся ребра, и когда проектируем эту пирамиду на плоскость основания то получаем исходный чертеж задачи.

[Dan B-Yallay]

Err.

[SomePupil]

(Оффтоп)

Стороны же соответственно паралелльны сторонам. И явно указано, что точки находятся внутри треугольника. Я не вижу как при таких условиях может получиться другая картинка.

[Dan B-Yallay]

SomePupil
Да, только полез удалять свою ошибку, а форум не даёт. Говорит уже заметили..

[DeBill]

SomePupil в сообщении #1473003 писал(а):

Я не вижу как при таких условиях может получиться другая картинка.

Точка $P$ может попасть НА отрезок $AA_1$

[gris]

Я по рисунку. Маленький треугольник можно же повернуть на пол
оборота и сдвинуть так, чтобы все вершины остались внутри. Наверное, это и имел в виду DeBill
Впрочем, если в идее abicorios продолжить рёбра пирамиды за вершину, то это и получится.

[wrest]

Искомая в задаче точка называется "центр подобия".

[DeBill]

gris в сообщении #1473017 писал(а):

за вершину, то это и получится.

Ага.

wrest в сообщении #1473018 писал(а):

точка называется "центр подобия".

Ага.

abicorios
Прочувствуйте разницу:
У Вас: "Если у фигурок есть центр гомотетии, то они подобны. И даже "параллельны""
У ТС: "если фигурки подобны и "параллельны", то у них есть центр гомотетии".

[wrest]

(В каестве небольшого обобщения)

Ну и чтобы снять ограничения на "лежит внутри" или "никакие две стороны из шести не лежат на одной прямой", вот это:

syaomyao в сообщении #1472960 писал(а):

Внyтри трeугoльникa $ABC$ взяли трeугoльник $A_1B_1C_1$ так,

изложить так:

syaomyao в сообщении #1472960 писал(а):

В плоскости треугольника $ABC$ взяли не равный ему трeугoльник $A_1B_1C_1$ так,

А это:

syaomyao в сообщении #1472960 писал(а):

Докажите, что пpямыe $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точкe.

Изложить как:

syaomyao в сообщении #1472960 писал(а):

Докажите, что пpямыe $AA_1, BB_1, CC_1$ имеют по крайней мере одну общую точку.

[StaticZero]

wrest в сообщении #1473048 писал(а):

Докажите, что пpямыe $AA_1, BB_1, CC_1$ имеют по крайней мере одну общую точку.

Любые три прямые имеют по крайней мере одну, если их не выбрали специально параллельными.