Открытие неевклидовой геометрии

[sergey zhukov]

Никогда ясно не понимал, в чем состоит открытие неевклидовых геометрий.

Из истории вопроса следует, что вначале все были уверены: пятый постулат Евклида - это не аксиома, а теорема. Но доказать ее никто не мог.

В конце концов выяснили: пятый постулат действительно оказался независимоц аксиомой, а не теоремой, как это и изложено у Евклида.Т.е. вроде бы вернулись к тому, с чего начинали.

В чем же революционность открытия? В том, что Евклид просто не рассматривал другие формулировки пятого постулата из-за их кажущейся физической бессмысленности, хотя и мог бы это сделать, не боясь внутренних противоречий? А открытие, соответственно, заключается в том, что физически осмысленной может быть как раз другая формулировка пятого постулата, просто никто не проверял это на опыте достаточно точно? Иначе говоря, было осознано, что вопрос о том, какая геометрия физически осмыслена, решен Евклидом не на основании эксперимента, а по каким-то другим соображениям. А на самом деле ответа на этот вопрос у нас нет.

Или же дело в том, что Евклид и все после него считали пятый постулат не аксиомой, а именно теоремой? Сам же Евклид включил его в список аксиом просто потому, что не смог найти доказательство, хотя и не сомневался, что оно существует. Соответственно, он не допускал, что этот постулат может иметь иную формулировку, кроме указанной, в противном случае возникнут внутренние противоречия с другими постулатами.Тогда открытие заключалось в том, что было доказано: пятый постулат - действительно независимая аксиома, и у нас есть свобода выбора его формулировки?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: похоже, начинать надо не с неэвклидовой геометрии и прочих подобных сложных вопросов, а с выяснения разницы между физикой и математикой.

[iifat]

При чём тут вообще физика, если уж вас заинтересовала аксиоматика геометрии? До физических приложения различных геометрий додумались, как понимаю, заметно позже.
А открытие (математическое) неевклидовых геометрий как раз в том и состоит. Если пятый постулат — теорема, то его формулировка единственна. Как оказалось, таки нет, при изменении его получается непротиворечивая система аксиом геометрии Лобачевского (Риманова, помнится, требует смены пятого и ещё какого-то).

[vpb]

iifat в сообщении #1472405 писал(а):

(Риманова, помнится, требует смены пятого и ещё какого-то

В Римановой аксиомы порядка (типа, на прямой из трех точек ровно одна лежит между двумя другими; или прямая делит плоскость на две полуплоскости, и т.д.) нарушаются.

[Emergency]

sergey zhukov в сообщении #1472364 писал(а):

Иначе говоря, было осознано, что вопрос о том, какая геометрия физически осмыслена, решен Евклидом не на основании эксперимента, а по каким-то другим соображениям.

Все решалось экспериментально. Потому и аксиома, что на практике только так, но ни из какой теории не следует.

[sergey zhukov]

iifat
Получается, что Евклид просто не дал доказательства независимости своих аксиом, а открытием фактически было получение этого доказательства.

[iifat]

Евклид, разумеется, не дал доказательства своих аксиом. Как я понял, в те времена вообще не существовало доказательств в современном понимании этого слова.
Открытие неевклидовых геометрий открыло нам целый мир неевклидовых геометрий И в частности доказало независимость аксиом Евклида.

[sergey zhukov]

Удивительная история вопроса. В попытках подвести строгое доказательство под вроде бы простейший очевидный факт додумались до того, что это совсем не факт и совсем не очевидный. И это несмотря на то, что альтернативная геометрия наверняка казалась тогда, в самом начале, совершенно бессмысленной и абсурдной. Лично я ни минуты бы на нее не потратил и сразу счел бы эту "геометрию" полной ерундой.

Умение поставить вопрос там, где "и так все ясно" не перестает удивлять меня. Путь, по которому пришли к идее неевклидовой геометрии, кажется немыслимым.

[gris]

А как же сферическая геометрия? Она развивалась вначале больше в практической сфере и возникла не как альтернатива, а по нуждам небесным и морским. Мне кажется

[Утундрий]

iifat в сообщении #1472761 писал(а):

И в частности доказало независимость аксиом Евклида.

...от Евклида?

[sergey zhukov]

gris в сообщении #1472775 писал(а):

А как же сферическая геометрия?

Так ведь нужно было еще догадаться, что геометрия, в которой видоизменен пятый постулат, и геометрия на поверхности постоянной кривизны - это одно и то же. При формальном рассмотрении следствий из вариации пятого постулата это, прямо скажем, не бросается в глаза.Т.е. сферическая геометрия - это тогда было одно, а неевклидовая - другое. Не говоря уже о том, что вначале исторически появилась геометрия Лобачевского, которая до этого вообще не существовала, как геометрия на искривленной поверхности.

[iifat]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1472791 писал(а):

iifat в сообщении #1472761 писал(а):

независимость аксиом Евклида.

...от Евклида?

Независимость аксиом Евклида от Евклида доказана Евклидом же. В момент смерти.

[btoom]

sergey zhukov в сообщении #1472364 писал(а):

В чем же революционность открытия?

Революционность это не строгое понятие, а социальное. Важность открытия Лобачевского (раз Вы знакомы с историей, то уместно сразу говорить о нем) - изменение научной парадигмы. Евклидова геометрия уже не считалась как априорная. Это было еще и плюс-минус в тот период истории, когда бытовало мнение, что "в целом все понятно" в механике, которая немыслима без геометрии.

iifat в сообщении #1472761 писал(а):

Евклид, разумеется, не дал доказательства своих аксиом. Как я понял, в те времена вообще не существовало доказательств в современном понимании этого слова.

Именно так. Насколько помню по истории, примерно с 6 века до нашей эры доказательство стало использоваться как основной метод установления истины.

sergey zhukov в сообщении #1472769 писал(а):

Удивительная история вопроса.

Еще и драматичная, если вспоминать Бояйи и Гаусса. Есть советский учебный фильм с отличной музыкой и графикой на тему.

[sergey zhukov]

Из этого фильма в частности следует, что движущей силой была задача: даны четыре постулата, доказать пятый. Очевидно, никто не сомневался, что однозначное решение, причем очень простое, существует. Задача казалась раздражающе легкой, почти детской, но решение не давалось.

Очень странная ситуация: пользуясь циркулем и линейкой (фактически только первыми четырьмя постулатами) раз за разом строить всевозможные треугольники, сумма углов которых неизменно получается равной 180 (как показывает опыт), и при этом не уметь доказать, что это неизбежно. Это парадокс, такого просто не может быть.

Следовательно, треугольник не обязан обладать свойством "сумма углов треугольника $=$180". Чем же обьяснить тот опытный факт, что он им всегда обладает? Похоже, это определяется чем-то другим, а не циркулем и линейкой. Опыт вполне мог бы показать нам, что треугольник, построенный по тому же самому алгоритму теми же самыми циркулем и линейкой, имел бы другую сумму углов. Потому мы и не можем доказать, что она должна быть равна 180. Нет никаких причин, по которым это должно быть именно 180. Это независимое свойство нашего мира, поэтому Евклид совершенно правильно записал его, как аксиому геометрии.

[sergey zhukov]

Вот еще такой вопрос по этой теме. Можно ли считать открытие неевклидовых геометрий открытием "на кончике пера" нового свойства пространства (кривизны)?

Т.е. можем ли мы считать, что внимательное изучение нашей теории показало нам: судя по всему, у пространства есть еще одно неизвестное нам ранее свойство - кривизна - которое мы в нашей теории неявно и незаметно положили равным нулю (и тем самым вообще не заметили, что оно существует), но на самом деле:

1. Перед нами изначально не стоял вопрос о том, чему равна кривизна пространства, т.к. опыты на листе бумаги отлично вписывались в частный случай пространства нулевой кривизны, когда этот параметр просто исчезает из уравнений и нам трудно было дагадаться, что он там есть (но положен равным нулю);

2. Мы не знаем, чему точно равна кривизна нашего пространства, т.к. никогда не задавались целью ее измерить. Мы всегда считали возможность масштабирования чертежа на листе бумаги до любых сколь угодно больших размеров само собой разумеющимся (т.е. возможность переноса результатов опыта на малом листе бумаги на любой пространственный масштаб не вызывала даже тени сомнения);

3. Ниоткуда не следует априори, что кривизна пространства точно должна быть равна нулю.

Т.е. можно ли сказать, что уже в самой геометрии Евклида неявно заложено, что у пространства существует свойство "кривизна пространства" - и это свойство не следует ни откуда, кроме как из опыта? И это и открыли нам неевклидовы геометрии?