В университете нас учили только РЕШАТЬ, уже готовые составленные, дифференциальные уравнения.
Звучит удивительно. В качестве примера для ОДУ нередко используются примеры с радиоактивным распадом, а для УЧП вывод уравнения теплопроводности или малых колебаний - классика, если не необходимость, в литературе. Например: С.Л.Соболев - "Уравнения математической физики" (параграфы 2-6), А.Н.Тихонов, Васильева, Свешников - "Дифференциальные уравнения" (параграф 2). Можно поискать книжки, где все выводится более или менее (что чаще, как по мне) подробно.
Если брать какую-то отдельную ветвь, то там найдете вывод. Например, для гидродинамики и газовой динамики уравнения одномерного течения с энтропией последовательно и весьма долго выводятся в книге Рождественского и Яненко "Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике" (глава 2, параграфы 1-2).
нигде не видел пояснения, почему дифф. уравнения именно такие , а не другие.
Если ознакомитесь с литературой, то убедитесь, что это обычно из соображений законов физики (например, упомянутый распад) плюс упрощения (колебания маятника, допустим) плюс (реже) эксперименты для конкретных историй (фильтрация песка, нефти плюс иногда некоторые коэффициенты в уравнении определяются "извне" опытно).
Еще можете почитать работы с применением асимптотических методов. Иногда, например, чтобы определить главный член асимптотики решения, приходится составлять систему уравнений (или не систему, а несколько вспомогательных).
Допустим, определили, что функция-решение, будет иметь тип
Если некто "оракул", скажет нам, чему равны коэффициенты,
- то мы, подставив их, и найдём, что данная функция - является решением некоего функционального уравнения, (или, части решения, системы функциональных уравнений).
Но пока мы не знаем эти коэффициенты, мы можем только перебором, пытаться найти их во множестве 26-ти измерений, а там сложность поиска может быть такова, что не хватит никаких ресурсов.
Так, даже приближенно, нельзя найти, чему равно например,
. А от него зависит следующая функция-решение , исходной системы.
Вывод - система функциональных уравнений, нерешаема даже приближенно, даже численными методами.
Правильно я понимаю?
А если решение содержит произвольную постоянную или функцию? А если решение не единственное?