Использование ЦПТ(?) для случайных векторов

[Juicer]

Пусть $\{(\xi_n, \eta_n)\}$ - последовательность независимых случайных векторов, с равномерным распределением в области $\{(x, y):-1 \le x, y \le 1\}$. Верно ли, что $\mathbb{P}(|\xi_1 + ... + \xi_n| \le 2n) \to 0$ при $n \to \infty?$
Я пытался её решить с помощью ЦПТ в форме Леви, но преподаватель сказал, что так делать нельзя, т.к. $\mathbb{P}(Z_n > x_n)$ не ведёт себя как хвост нормального закона. Т.е. здесь никак, кроме как используя ЗБЧ в форме Хинчина не обойтись, я правильно понимаю?

[Otta]

Juicer
Если условие записано верно, зачем $\eta_n$?

[Juicer]

Otta
Пока сам не понял, но условие записано верно

[mihaild]

А эта вероятность не единица ли? Складываем $n$ величин, по модулю не превосходящих $1$...
Может быть имелось в виду $\sum \|x_n\|$ (где $x_n = (\xi_n, \eta_n)$)?

[Otta]

Juicer
Ну, если с условием все в порядке, то ЗБЧ должен нормально работать.

[Sicker]

Juicer
Мне кажется, задача имеет очевидное решение, ведь максимальная длина вектора равна $\sqrt{2}n$

-- 26.06.2020, 16:07 --

mihaild в сообщении #1470711 писал(а):

Может быть имелось в виду $\sum \|x_n\|$ (где $x_n = (\xi_n, \eta_n)$)?

Так вероятность тоже единица

[ipgmvq]

Какие запутанные у Вас задачи и строгие преподаватели!
Я согласен со Sicker, что в такой формулировке решение очевидно, т.к.
$\forall n \in\mathbb{N} \,\,\, \left\lvert \sum\limits_{i=1}^{n} \xi_{i} \right\rvert \leqslant n$
даже если случайные вектора не независимые.