Функция Ляпунова для системы

[_DimONN_]

Всем привет!

Есть система:

$$\begin{cases} \dot{x}=xy-x^3+y^3\\ \dot{y}=x^2-y^3 \end{cases}$$

В задаче необходимо исследовать стойкость нулевых решений используя теорему Ляпунова или Четаева.

Всего состояний равновесия $ 3$, одно из них - точка $ A(0,0)$

Я преположил, что функция Ляпунова $\boldsymbol{V}$ имеет вид $x^2+y^2$.
Тогда $\boldsymbol{\dot{V}}=(4x^2y+2xy^3)-2(x^4+y^4)$. В то время как $\boldsymbol{V}$ знакостойкая, ничего невозможно сказать о постоянстве знака фунции $\boldsymbol{\dot{V}}$ в окрестностях нулевого решения.
Дальше я поискал в общем виде $ ax^2+by^2$, но что-то не выходит.
Такое впечатление, что здесь применима теорема Четаева и существует $\boldsymbol{W}$, такая, что $\dfrac{d\boldsymbol{V}}{dt}\geqslant\boldsymbol{W}(x,y)>0$.

Может быть кто-то решал подобную задачу и может подсказать функцию Ляпунова для системы?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Утундрий]

Занятое поведение в нуле. В условии ничего не напутано?

[_DimONN_]

Нет, ничего не напутано. Оригинал вот:

[Утундрий]

Поищите среди кривых $y \sim x^\alpha$ особенную.

[Farest2]

_DimONN_ в сообщении #1469089 писал(а):

Дальше я поискал в общем виде $ ax^2+by^2$, но что-то не выходит.

Это не самый общий вид квадратичной функции. Если же добавить, что надо искать функцию в первом квадранте для т.Четаева, то это будет страшной подсказкой. Вообще, у Филиппова (а это задача 926) не слишком суровые примеры.

[_DimONN_]

Нет, подсказка не страшная. Ибо ближе понимание как должна выглядеть $\boldsymbol{\dot{V}}$.

В данном случае неустойчивости она должна быть всегда $>0$. Что можно достичь либо сокращением всех нечетных степеней, либо выделением окрестности точки равновесия. Для устойчивости и, тем более, для асимптотической устойчивости другие критерии, но суть в стабильности знака. Громадное человеческое спасибо! Реально прорыв