Изоморфизм групп.

[glissade]

Здравствуйте!
Мне нужно доказать, что группа поворотов $\Gamma$ в плоскости на угол $\varphi$ изомофрна группе $SO(2)$.

С чего мне начать?

[demolishka]

Начните с построения кандидата на изоморфизм.

[glissade]

Возможно, это $\exp($i$\varphi)$?

[demolishka]

Давайте тогда с определений начнем. Как выглядят элементы групп $\Gamma$ и $SO(2)$?

[glissade]

$$\begin{pmatrix} & cos\varphi & -sin\varphi & \\ & sin\varphi & cos\varphi& \\ \end{pmatrix}$$

Это элементы группы $\Gamma$.

Элементы группы $SO(2)$ - это такие матрицы $2$ x $2$, что обратная матрица равна транспонированной, причём её определитель равен +1.
Например:

$$\begin{pmatrix} & 0.6 & -0.8 & \\ & 0.8 & 0.6 & \\ \end{pmatrix}$$

[Brukvalub]

glissade в сообщении #1465626 писал(а):

Элементы группы $SO(2)$ - это такие матрицы $2$ x $2$, что обратная матрица равна транспонированной, причём её определитель равен +1.

Осталось доказать, что все такие матрицы имеют вид матриц поворота.

[glissade]

Пусть наша матрица $SO(2)$ выглядит так:

$$\begin{pmatrix} & a & b & \\ & c & d & \\ \end{pmatrix}$$

Тогда её обратная матрица будет иметь вид:

$$\begin{pmatrix} & d & -b & \\ & -c & a & \\ \end{pmatrix}$$

Отсюда сразу видно, что $a=d$ и $b=-c$. Тогда матрица имеет вид

$$\begin{pmatrix} & a & -c & \\ & c & a & \\ \end{pmatrix}$$

Полагаем $a=cos(\varphi)$, $c=sin(\varphi)$ и получаем, что всякая матрица, принадлежащая группе $SO(2)$, имеет вид матрицы, принадлежащей группе $\Gamma$

Это верно?

[nnosipov]

glissade в сообщении #1465638 писал(а):

Полагаем $a=cos(\varphi)$, $c=sin(\varphi)$

А почему такой $\varphi$ найдется?

[glissade]

Потому что $a^2 + c^2 = 1$ по условию, а значит, что $a$ и $c$ по модулю меньше или равны единицы. Получается, что такой угол $\varphi$ существует.

[nnosipov]

glissade в сообщении #1465641 писал(а):

а значит, что $a$ и $c$ по модулю меньше или равны единицы

Вот это лишнее. Просто точка $(a,c)$ лежит на единичной окружности и в качестве $\varphi$ можно взять понятно что.

[glissade]

То бишь, то что я написал ( с замечанием nnosipov ), годится для доказательства ?

[nnosipov]

glissade
Формально говоря, нет. Я бы еще вернулся к вопросу о том, что есть элемент группы поворотов. Иными словами, что такое поворот. Преобразование плоскости? Или матрица специального вида?

С другой стороны, фактически (на содержательном уровне) задача решена, осталась ловля блох.

[glissade]

Поворот происходит под действием оператора, а значит, это матрица специального вида?

[Brukvalub]

glissade в сообщении #1465728 писал(а):

Поворот происходит под действием оператора, а значит, это матрица специального вида?

Одного того факта, что каждому повороту удалось сопоставить ортогональную матрицу, еще мало.Нужно еще проверить , что построенное отображение поворотов в ортогональные матрицы биективно и сохраняет групповую операцию.
Поговорите с нами об этом.

[nnosipov]

glissade
Преобразования (операторы) --- это одно, а матрицы --- это другое. Один и тот же оператор можно задать многими матрицами. Так что здесь Вам нужно определиться.

Если в Ваших обеих группах живут матрицы, то эти группы не просто изоморфны, они равны. Задача в таком случае решена: Вы показали, что любая матрица из $SO(2)$ имеет тот вид с буковкой $\varphi$, а значит, $\Gamma=SO(2)$.

Если же в $\Gamma$ находятся операторы, то тогда нужно еще доказать, что построенное соответствие и будет искомым изоморфизмом.

-- Пт май 29, 2020 13:35:09 --

Brukvalub в сообщении #1465632 писал(а):

Осталось доказать, что все такие матрицы имеют вид матриц поворота.

Вот это он и доказал.