Линейное интегро-дифференциальное уравнение в частных пр-ных

[Gickle]

Здравствуйте. Занимался физикой в очередной раз, и по ходу дела возникла вот такое уравнение:

$$\left[\frac{\partial}{\partial t} - \frac{z}{t} \frac{\partial}{\partial z} - h(t) \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right] f(t,z,\mathbf{r}) = g_1(t,z,\mathbf{r}) \int^{\infty}_{-\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}z' \mathrm{d}^2\mathbf{r}' \, g_2(t,z',\mathbf{r}') f(t,z',\mathbf{r}'),$$

где $f(t=t_0,z,\mathbf{r}) = f_0(z,\mathbf{r})$, $f(t,z,\mathbf{r})$ достаточно быстро убывает на бесконечности, по $\mathbf{r}$ есть радиальная симметрия, $h(t)$, $g_i(t,x,\mathbf{r})$ -- некоторые заданные функции.

Уравнение вроде как линейное по $f$, но выглядит уж больно жутко. Меня главным образом интересует, можно ли что-то сказать относительно того, затухает решение или нет. В обычных случаях я бы разделить переменные

$$f(t,z,\mathbf{r}) = \varphi(z,\mathbf{r}) \kappa(t),$$

но в данном случае переменные явно не разделяются. Есть ли вообще хоть какая-то более-менее общая процедура тут? Если нет, то при каких условиях можно было бы что-то сказать/сделать?

[Red_Herring]

Прежде всего заметим, что поведение решения имеет смысл обсуждать только после того, как мы установим их существование.
Задача плохо поставлена без условия $h(t)\ge 0$. Если $t_0>0$ и $h(t)\ge 0$ при $t\ge t_0$, то задача хорошо поставлена. А дальше идут всякие нюансы. Советую попробовать, чтро будет, если справа $0$ (тогда убывает), что будет, если справа стоят постоянные $g_*$ . Т.ч. заведомо стоит оговорить условия на $h(t)$ и, возможно, условия малости $g_*$

[Red_Herring]

Я люблю обозначать решения через $u,v, w$, т.ч. буду этому следовать, и предположу, что $t>t_0>0$, и нас интересует поведение при $t\to +\infty$ (Вы стыдливо замолчали когда решение должно затухать), и что $h(t)\ge 0$ (по причине, что иначе задача будет плохо поставлена в положительном направлении времени). Умножая это уравнение на $2u$ и интегрируя по пространственным переменным, мы получим слева

$$ \frac{\partial}{\partial t} \iint |u|^2\,dzd\mathbf{r'} + \frac{1}{t} \iint |u|^2\,dzd\mathbf{r'} + 2h(t) \iint |u_z|^2\,dzd\mathbf{r'} $$

а вот справа

$$ 2 \Bigl(\iint g_2 u\,dz'd\mathbf{r} \Bigr) \Bigl(\int g_1 u dzd\mathbf{r}\Bigr) $$

и тут начинаются нюансы. Если мы сможем оценить это сверху через $(1-\epsilon) t^{-1}\iint |u|^2\,dzd\mathbf{r'}$, что будет, например, если $g_1=-k(t) g_2$, $k_2\ge 0$ или если $\|g_1\|\cdot \|g_2\|\le (1-\epsilon)t^{-1}$ ($L^2$ нормы), то все в порядке. Если нет, то надо думать... ответа я не знаю

[Gickle]

Red_Herring в сообщении #1459309 писал(а):

Прежде всего заметим, что поведение решения имеет смысл обсуждать только после того, как мы установим их существование.
Задача плохо поставлена без условия $h(t)\ge 0$. Если $t_0>0$ и $h(t)\ge 0$ при $t\ge t_0$, то задача хорошо поставлена.

Ой, да, извиняюсь, всё именно так: решение интересует на $t \geq t_0 > 0$, $h(t) \geq 0$.

Red_Herring в сообщении #1459309 писал(а):

Советую попробовать, чтро будет, если справа $0$ (тогда убывает), что будет, если справа стоят постоянные $g_*$ .

А можете подсказать, как это сделать? Итак, рассмотрим

$$u_t - \frac{z}{t} u_z - h(t) u_{zz} = 0.$$

На занятиях по УМФ мы в таких случаях либо пытались разделить переменные, решали задачу Штурма-Лиувилля, а потом произносили заклинание под названием теорема Стеклова, либо, скажем, находили функцию Грина соответствующего оператора, после чего уже легко получалось решение. У меня инстинктивно есть желание попытаться разделить переменные $u(t,z,\mathbf{r}) = R(z,\mathbf{r}) T(t),$ так что

$$R T' - \frac{z}{t} R' T - h(t) R'' T = 0 \implies t \frac{T'}{T} - z \frac{R'}{R} - h(t) t \frac{R''}{R} = 0.$$

Беря производную по $t$, получаем

$$\frac{(T' + t T'') T - t (T')^2}{T^2} - \left[h'(t) t + h(t)\right] \frac{R''}{R} = 0 \implies \frac{R''}{R} = \lambda.$$

С другой стороны, подставляя это в исходное уравнение, имеем

$$t \frac{T'}{T} - z \frac{R'}{R} - \lambda h(t) t = 0 \implies \frac{z R'}{R} = \mu,$$

откуда

$$\begin{cases} \frac{R''}{R} = \lambda, \\ \frac{z R'}{R} = \mu. \end{cases}$$

Но эта система уравнений, насколько я могу судить, не имеет решений: у первого уравнения решения экспоненциальные, а у второго -- полиномиальные. Отсюда я заключаю, что метод разделения переменных тут, видимо, не работает, так что надо действовать как-то иначе. Или всё вышенаписнное вообще чушь?

Red_Herring в сообщении #1459362 писал(а):

Я люблю обозначать решения через $u,v, w$, т.ч. буду этому следовать, и предположу, что $t>t_0>0$, и нас интересует поведение при $t\to +\infty$ (Вы стыдливо замолчали когда решение должно затухать), и что $h(t)\ge 0$ (по причине, что иначе задача будет плохо поставлена в положительном направлении времени).

Да, всё именно так. Вообще говоря, хотелось бы даже скорее найти какое-то характерное время затухания решения $t_{*}$. Честно сказать, я думал, что мало ли тут как-то умно можно переменные, например, разделить, получить какую-то хитрую задачу Штурма-Лиувилля, найти СЗ соответствующего оператора, увидеть, что временная часть затухает, и рассмотреть, как именно она это делает.

Red_Herring в сообщении #1459362 писал(а):

Если мы сможем оценить это сверху через $(1-\epsilon) t^{-1}\iint |u|^2\,dzd\mathbf{r'}$, что будет, например, если $g_1=-k(t) g_2$, $k_2\ge 0$ или если $\|g_1\|\cdot \|g_2\|\le (1-\epsilon)t^{-1}$ ($L^2$ нормы), то все в порядке. Если нет, то надо думать... ответа я не знаю

Это надо будет подумать и посмотреть. Просто функции $g_1$, $g_2$ заданы весьма условно, если честно: из численных результатов можно выцарапать, как они выглядят, как себя примерно ведут прикинуть, но вот динамику их нормы в смысле $L_2$ я не смотрел.

А вот какая вещь стала интересна. А из каких-то общих соображений нельзя оценить характерное время затухания $t_{*}$ без решения задачи? В том числе в более сложном случае, когда правой частью не пренебрегаем? Если уравнение в какой-то момент $t_{\text{кр}}$ "лопается", но $t_{\text{кр}} > t_{*}$, то и бог бы с ним, честно говоря: из некоторых физических соображений заранее известно, что начиная с некоторого (неизвестного мне) момента уравнение всё равно не способно адекватно описывать физику процесса.

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1459362 писал(а):

Умножая это уравнение на $2u$ и интегрируя по пространственным переменным, мы получим слева

$$ \ldots + 2h(t) \iint |u_z^2|^2\,dzd\mathbf{r'} $$

Здесь явно очепятка: квадрат внутри $|\ldots|$ явно лишний.

[Red_Herring]

Gickle в сообщении #1460520 писал(а):

А из каких-то общих соображений нельзя оценить характерное время затухания $t_{*}$ без решения задачи?

Ну я примерно показал как, но с большой вероятностью, без учета вот этого очепяточного члена оценка будет очень далека от оптимальной. Это проклятие математиков, прилагающихся к физике: результаты теорем, как правило, гораздо хуже чем то, что есть на самом деле

[sup]

Мне кажется, что на эту задачу можно взглянуть вот с какого направления. Заметим, что в правой части по сути стоит выражение

$$ A(t) g_1(t,z,\mathbf{r}). $$

Тогда по формуле Дюамеля

$$ u(t) = U_0(t) + \int \limits_{t_0}^t A(\tau)v(t, \tau) \, d \tau. $$

Где $v(t, \tau)$ решение вспомогательной задачи

$$ L v = 0, \quad v|_{t = \tau} = g_1. $$

Откуда сразу же получаем

$$ A(t) = F + \int \limits_{t_0}^t A(\tau) \left ( \iint \limits_{r,z}v(t, \tau)g_2 \,dr dz \right ) \, d \tau. $$

Так что все сводится к анализу внутреннего интеграла.
Что бросается в глаза? Нужно либо быстрое стремление к 0, либо знак. А лучше и то и другое
Убывание за счет параболичности и поведения $g_1, g_2$? Знак --- принцип максимума?
Впрочем, этот анализ может оказаться ничуть не проще.

[Red_Herring]

sup в сообщении #1460559 писал(а):

Убывание за счет параболичности

Согласно ТС мы знаем что $h(z)\ge 0$. Т.е. параболичность не гарантирована. Но даже если есть строгое неравенство, хорошо чтобы оно было "квалифицированным". С другой стороны, у нас вся прямая т.ч. все не слишком просто (если, конерчно, нет каких-то хороших условий на $g_*$.

[sup]

А я там вопросиком "подстраховался"
Кроме того, по переменной $r$ уравнение "не работает". Может там какая-нибудь свертка имеется? Хотя, как записано, там никакой свертки нет.
Тут без каких-то внятных предположений вообще ничего определенного не просматривается.
Я бы поставил на знак функций $g_1, g_2$. Вот, если у них разные знаки, то уже какие-то надежды появляются.

[Gickle]

Извиняюсь, что пропал почти на месяц и отвечаю только сейчас. Попал в замкнутый круг из "нужно в срочном порядке сделать то-то, а как только закончил делать то-то, стало нужно срочно делать это-то", из которого частично вырвался только сегодня.

Red_Herring в сообщении #1460524 писал(а):

Ну я примерно показал как, но с большой вероятностью, без учета вот этого очепяточного члена оценка будет очень далека от оптимальной.

Сначала я вас просто не совсем до конца понял, если честно. Но теперь вроде разобрался, что идея в том, что если мы покажем такую оценку сверху для этого члена, то он будет пренебрежимо мал (или в крайнем случае сопоставим) по сравнению со вторым членом в левой части при $t \to \infty$, а потому при исследовании асимптотического поведения решения на $t\to\infty$ его можно просто проигнорировать. Я правильно уловил логику? Проблема в том, что я как-то не очень понимаю, к своему стыду, как даже однородное (ну, в смысле без интегральной части) решить. Хотелось бы сначала с этим разобраться, если честно. Выше я пытался решить методом разделения переменных, но не получилось.

sup в сообщении #1460576 писал(а):

Тут без каких-то внятных предположений вообще ничего определенного не просматривается.

Да, это я уже осознал теперь. :) Проблема, повторюсь, в том, что предположения делать не так-то просто -- для этого надо всякий анализ численных данных делать. Поэтому, если есть такая возможность, я бы хотел сначала понять, как можно сказать что-то о поведении решении при больших $t$ (а если быть более точным, то можно ли как-то прикинуть асимптотическое поведение и, как следствие, какое-то характерное время затухания оценить) в предположении, что "всё хорошо и все функции в уравнении ведут себя так, как надо", потом посмотреть, насколько полученное в этих допущениях решение согласуется с численными результатами и, если согласуется хорошо, уже проверить, выполняются ли на практике эти самые предположения. Впрочем, насколько я теперь понимаю, какой-то универсальной процедуры решения и оценки асимптотического поведения тут нет, да? Что это всё существенно зависит от характера $g_1, g_2$?

[Red_Herring]

Gickle в сообщении #1466357 писал(а):

Проблема в том, что я как-то не очень понимаю, к своему стыду, как даже однородное (ну, в смысле без интегральной части) решить. Хотелось бы сначала с этим разобраться, если честно. Выше я пытался решить методом разделения переменных, но не получилось.

И скорее всего не получится. Я просто описал как делать оценку. А уж насколько она будет точной вопрос темный.

Впрочем, какие-то автомодельные решения уравнения

$$u_t-\frac{z}{t}u_z - u_zz=0$$

найти можно,

$$u= t^\alpha v(\frac{z}{\sqrt{t}})$$

с произвольным параметром $\alpha$ ($\alpha=-1/2$ в частности) и неизвестной $ v$.

[mihiv]

Если предположить, что не только $u$, но и $u_z$ достаточно быстро убывает на бесконечности, то можно проинтегрировать по $z$ исходное уравнение, в результате получим:

$$\dfrac {\partial F(t,\mathbf {r})}{\partial t}+\dfrac 1tF(t,\mathbf {r})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }G(t,z,\mathbf {r})dz$$

Здесь $F(t,\mathbf {r})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }udz, G(t,z,\mathbf {r})$- правая часть исходного уравнения. Это уравнение , может быть, легче анализировать, так как в нем нет слагаемого с $h(t)$.

[mihiv]

Обозначим $F_1(t)=\iint udzd\mathbf {r},G_1(t)=\iint g_1(t,z,\mathbf {r})dzd\mathbf {r}.$ Проинтегрируем уравнение по $z,\mathbf {r}$:

$$\dfrac {dF_1}{dt}+\dfrac 1tF_1=G_1(t)\iint g_2(t,z',\mathbf {r'})udz'd\mathbf {r'}$$

Рассмотрим какой-нибудь простой случай: пусть, например, $g_1$ не зависит от времени,а $g_2$- константа, тогда уравнение принимает вид:

$$\dfrac {dF_1}{dt}+\dfrac 1tF_1=G_1g_2F_1$$

Решение этого уравнения:

$$F_1(t)=\dfrac {C(z,\mathbf {r})}{t}\exp (G_1g_2t)$$

В зависимости от знака произведения $G_1g_2$функция $ F_1(t)$ возрастает или убывает при $t\to \infty $. Хотя и не напрямую, $F_1(t)$ характеризует поведение функции $u$ при $t\to \infty $.

[Red_Herring]

mihiv в сообщении #1467324 писал(а):

Проинтегрируем уравнение по $z,\mathbf {r}$:

Это интегрирование убивает эффект диссипации ... в общем, я бы постарался этого не делать

[mihiv]

Red_Herring в сообщении #1467330 писал(а):

Это интегрирование убивает эффект диссипации

Подробности, конечно, стираются, но все же уравнение для $F_1$- это следствие уравнения ТС, поэтому некоторую информацию о решении исходного уравнения получить можно.

[Red_Herring]

mihiv в сообщении #1467338 писал(а):

то следствие уравнения ТС, поэтому некоторую информацию о решении исходного уравнения получить можно.

Ну это примерно так: для уравнения теплопроводности (в чистом виде) $\iiint u(x,y,z)\,dxdydz$ сохраняется