Бесконечно вложенные радикалы

[Munin]

nnosipov в сообщении #1452408 писал(а):

Огласите, плиз, эти два значения.

dimka21 в сообщении #1452132 писал(а):

$10\sqrt{10\sqrt{10...}}=x$
...
$x=0$ или $x=100$

[arseniiv]

Я бы добавил к обсуждению, что есть записи вида $f(f(f(f(\ldots))))$ как тут с корнями (по крайней мере если не считать переход к бесконечному произведению очевидно допустимым), а есть записи вида $\ldots f(f(f(a)))$ типа $1 + \frac12 + \frac14 + \ldots$. Это разные виды записей, по-моему вещи для них разноразрешимы. В частности для первой записи нет никакого нормального $a$ как во второй. Мне как и Munin потому не очевидно, что надо понимать запись с корнями как $x_0 = 10, x_{n+1} = 10\sqrt{x_n}$ — $x_0$ может быть любым, вдруг и правда ноль?

Ещё мне не к ночи будь помянуты вспоминаются данные и коданные.

[nnosipov]

slavav в сообщении #1452396 писал(а):

Справедливости ради, надо сказать что половина форума решает задачу $x = \dots10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10}}}$.

Теорема. $\dots10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10}}}=10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\ldots}}}$.

[arseniiv]

slavav в сообщении #1452396 писал(а):

Справедливости ради, надо сказать что половина форума решает задачу $x = \dots10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10}}}$.

О, вот! Я опоздал-таки.

-- Вт апр 07, 2020 20:41:10 --

nnosipov в сообщении #1452414 писал(а):

Теорема. $\dots10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10}}}=10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\ldots}}}$.

По-моему это гипотеза, причём независимая от ZFC.

[nnosipov]

arseniiv в сообщении #1452413 писал(а):

Мне как и Munin потому не очевидно, что надо понимать запись с корнями как $x_0 = 10, x_{n+1} = 10\sqrt{x_n}$ — $x_0$ может быть любым, вдруг и правда ноль?

Это, господа физики, все отговорки, чтобы математическую задачу по-честному не решать. Извините, но в математическом образовании есть традиции.

Кстати, ТС задачу так и не решил, и такие комментарии уводят его в сторону. Не забывайте, что это ПРР, а не Свободный полет.

[Munin]

nnosipov в сообщении #1452414 писал(а):

Теорема. $\dots10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10}}}=10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\ldots}}}$.

OK. Ждём доказательства.

[nnosipov]

Еще раз повторю:

nnosipov в сообщении #1452418 писал(а):

Кстати, ТС задачу так и не решил, и такие комментарии уводят его в сторону. Не забывайте, что это ПРР, а не Свободный полет.

[Munin]

nnosipov в сообщении #1452418 писал(а):

Это, господа физики, все отговорки, чтобы математическую задачу по-честному не решать. Извините, но в математическом образовании есть традиции.

Извините, сейчас есть два способа. Один из них вы называете "по честному", другой - "по нечестному".

Я не против традиций, только чтобы они были зафиксированы в общераспространённых источниках (пусть даже олимпиадных сборниках). Но я опасаюсь, как бы не было двух или более конкурирующих традиций, каждая из которых считает себя единственно правильной (а то и единственно существующей). Они могут очень долго не сталкиваться друг с другом, например, "живя" на региональных олимпиадах в разных регионах.

nnosipov в сообщении #1452418 писал(а):

Кстати, ТС задачу так и не решил

Не вижу обоснованной критики решения, приведённого в первом сообщении.

nnosipov в сообщении #1452418 писал(а):

Не забывайте, что это ПРР, а не Свободный полет.

Да. Мне жаль. Я надеялся ограничиться полушуточным замечанием, и не ожидал здесь встретить столь серьёзного непонимания чужой позиции.

-- 07.04.2020 18:53:05 --

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1452418 писал(а):

Это, господа физики

А это, кстати, апелляция к личным качествам оппонента.

Могу сказать, что быть физиком тут ни при чём. Я получил, как мне кажется, приемлемое школьное образование по математике, знаком с математическими олимпиадами как школьными, так и студенческими (но не мат.специальностей, это да), знаком с распространёнными курсами мат.анализа. Если что-то выходит за эти рамки, то полагаю, это необходимо указать явно.

-- 07.04.2020 18:58:18 --

P. S. Насколько я слышал и с трудом помню, для итерационных вычислений различаются понятия "просто" стационарная (неподвижная) точка, и устойчивая стационарная (неподвижная) точка. Требование сходимости относится только к последней. Можно привести пример задачи на единственную, и притом неустойчивую стационарную точку.

[arseniiv]

10 выглядит как удачное заполнение где-то там в конце бесконечной цепочки вложенных радикалов, но это лишь из-за того, что сама «бесконечная формула» включает только радикалы и 10. Мне кажется, можно подобрать такую запись, где было бы труднее что-то выбрать из нескольких неподвижных точек ассоциирующейся с записью функции, которую предлагается итерировать (если ассоциируется только одна функция).

nnosipov в сообщении #1452418 писал(а):

Это, господа физики, все отговорки, чтобы математическую задачу по-честному не решать. Извините, но в математическом образовании есть традиции.

Из меня физик, увы, такой же как и ну скажем художник, то есть вроде что-то простенькое может и нарисую, но с профессионалами сравнения невозможны. Так что я с самой математической, ну ладно, метаматематической стороны спрашиваю: почему эта запись должна пониматься так, как предлагается. И это согласуется с тем, что вы сказали, что условие мягко говоря не очень ясное. Так что почему бы не посчитать, что эта запись вообще не имеет никакого смысла и не приписывать ей ни значения 10, ни 0; вполне вариант.

А то, что формула (если мы разрешим бесконечные формулы, представляя их деревьями, где поддеревья каждого узла упорядочены), может быть «бесконечной по-разному», это довольно очевидно: порядок на $\mathbb N$ и обратный порядок разные, и если взять одноместный символ $f$, достраивающий [бесконечную] формулу в [бесконечную] формулу, эти два порядка отразятся в формулах, записываемых как $f(f(f(f(f(\ldots)))))$ и $\ldots f(f(f(f(a))))$, где допустим, что ещё есть какая-то константа $a$. Пусть $\equiv$ — тождественность формул, тогда если обозначить первую формулу $A_1$ и вторую $A_2$, имеем $A_1 \equiv f(A_1)$, но не $A_2 = f(A_2)$, потому что вторую формулу вообще никуда нельзя подставить — нет вершины-головы, за которую «можно было бы зацепиться»; соответственно, у неё кстати не может быть и значения. Две разные вещи в общем.

[nnosipov]

Munin в сообщении #1452423 писал(а):

Я не против традиций, только чтобы они были зафиксированы в общераспространённых источниках (пусть даже олимпиадных сборниках).

Она (традиция) зафиксирована, выше я давал ссылку на книжку Вавилова. Могу поискать и еще.

Munin в сообщении #1452423 писал(а):

Но я опасаюсь, как бы не было двух или более конкурирующих традиций, каждая из которых считает себя единственно правильной (а то и единственно существующей). Они могут очень долго не сталкиваться друг с другом, например, "живя" на региональных олимпиадах в разных регионах.

Да, есть еще традиция малограмотности, формулировку задачи с региональной олимпиады с подобным "решением" я привел еще на первой странице топика.

Munin в сообщении #1452423 писал(а):

Не вижу обоснованной критики решения, приведённого в первом сообщении.

Уже написано не один раз.

Смех смехом, но есть и образовательный момент (для ТС). Впрочем, как угодно.

[dimka21]

Кстати у тут решил произвести "проверку корней"
$a\sqrt{a\sqrt{a...}}=100$
$a\sqrt{100}=100$
$a10=100$
$a=10$
$a\sqrt{a\sqrt{a...}}=0$
$a\sqrt{0}=0$
$a$ -любое число
Получается что оба подходят

[Munin]

arseniiv в сообщении #1452424 писал(а):

вторую формулу вообще никуда нельзя подставить

Зато её можно  вычислить  начать вычислять :-)

-- 07.04.2020 19:04:54 --

nnosipov в сообщении #1452425 писал(а):

Она (традиция) зафиксирована, выше я давал ссылку на книжку Вавилова. Могу поискать и еще.

Хорошо, поищите ещё. Будьте любезны. Одна фиксация - это ещё не общераспространённость. Я бы не сказал, что указанная вами книга столь же широко распространена, как школьный учебник Макарычева или вузовский учебник Фихтенгольца или Зорича.

nnosipov в сообщении #1452425 писал(а):

Да, есть еще традиция малограмотности, формулировку задачи с региональной олимпиады с подобным "решением" я привел еще на первой странице топика.

Кстати, а критику той задачи услышать можно? Для полноты изложения вашей позиции.

nnosipov в сообщении #1452425 писал(а):

Уже написано не один раз.

Критика написана. Обоснованной критики не вижу.

[Someone]

После прочтения темы у меня возникло стойкое ощущение, что кое-кто жаждет, чтобы ему указали последнюю цифру в десятичной записи числа $\sqrt{10}$. В то время как другие имеют в виду, что существует определённая традиция в интерпретации подобных "бесконечных" выражений. И эта традиция приводит к значению $x=100$. Традиция, собственно, состоит в том, что "бесконечная" формула усекается путём отбрасывания "хвоста", и рассматривается предел полученных выражений.

[Munin]

Someone в сообщении #1452429 писал(а):

Традиция, собственно, состоит в том, что "бесконечная" формула усекается путём отбрасывания "хвоста"

Как усекать будем? Вот в чём беда. Скажем,

$10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\ldots}}}=2\cdot 5\sqrt{2\cdot 5\sqrt{2\cdot 5\sqrt{2\cdot 5\ldots}}},$

и можно "усечь" между двойкой и пятёркой. Или

$10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\ldots}}}=(0+10)\sqrt{(0+10)\sqrt{(0+10)\sqrt{(0+10)\ldots}}},$

и усечём между нулём и десяткой.

[nnosipov]

Munin в сообщении #1452427 писал(а):

Хорошо, поищите ещё.

Окей, но попозже. Поверьте, ссылок будет много.

Munin в сообщении #1452427 писал(а):

Кстати, а критику той задачи услышать можно? Для полноты изложения вашей позиции.

Очень кратко: вот мы получили $x=\sqrt[3]{3}$, а теперь давайте подставим это $x$ в левую часть и посмотрим, получим ли мы правую. Вообще, вопрос про предел тетрации разобран здесь на форуме очень обстоятельно (и не один раз).

-- Вт апр 07, 2020 23:23:04 --

Munin в сообщении #1452435 писал(а):

Как усекать будем? Вот в чём беда.

Да как хотите, так и усекайте. Только правила усекновения заранее огласите (если они какие-то извращенные).