Школьная математика: неравенство

[marie-la]

Числа $a,b,c,d$ удовлетворяют равенству

$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)=16$

Доказать, что

$ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant5+abcd$

Не получается! Кажется, что тут что-то типа неравенства Коши, потому что равенство при $a=b=c=d=1$. И я могу доказать, например, что

$ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant9-3abcd$

Вроде бы похоже, но не то, что нужно.

[marie-la]

Ну вот, никто не помог, справилась сама.
$(a+b+c+d-abc-abd-acd-bcd)^2$
расписала.

[Someone]

marie-la в сообщении #1452246 писал(а):

Ну вот, никто не помог, справилась сама.

Так это же замечательно! Никто не догадался, как решать, а Вы посидели, подумали и додумались.

[Sasha2]

marie-la в сообщении #1452246 писал(а):

Ну вот, никто не помог, справилась сама.
$(a+b+c+d-abc-abd-acd-bcd)^2$
расписала.

А может быть стоит поподробнее объяснить

[H14sk]

marie-la в сообщении #1451576 писал(а):

Числа $a,b,c,d$ удовлетворяют равенству

$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)=16$

Доказать, что

$ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant5+abcd$

СимпатиШная задачка.
Понятно, что в левой части объем 4-х-мерного параллелепипеда.
Максимум будет понятно, если 4-куб, то бишь: a = b = c = d = 1
При всех иных значениях, объем параллелепипеда будет меньше.
Сочли бы такое рассуждение доказательством?

[Someone]

Sasha2 в сообщении #1452448 писал(а):

А может быть стоит поподробнее объяснить

Да, marie-la, Вы бы, и правда, выложили своё решение. А то ведь дальнейшие действия не очевидны. Я, например, не увидел. Может быть, потому, что постарел уже, а, может быть, Вы не правы.

[Markiyan Hirnyk]

При том же условии $ (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1)(d^2 + 1) = 16$ выполняется неравенство $ abcd - ab - ac - ad - bc - bd - cd \le 3 $. Равенство достигается при весьма некруглых значениях переменных.

[DeBill]

marie-la в сообщении #1452246 писал(а):

Ну вот, никто не помог, справилась сама.
$(a+b+c+d-abc-abd-acd-bcd)^2$
расписала.

Красиво! Но непонятно, как до этого допереть...
Может быть, так? Выражая симметрический многочлен из условия через элементарные симметрические, получим:
$16 =1+(S_1^2-2S_2)+ (S_2^2-2S_1S_3+2S_4)+(S_3^2-2S_2S_4)+S_4^2=$
$=(S_1-S_3)^2 +(S_4-S_2)^2 +2(S_4-S_2)+1 = (S_1-S_3)^2 +(S_4-S_2+1)^2 \geqslant (S_4-S_2+1)^2 $,

откуда и следует требуемое (а также и указанное Markiyan Hirnyk, в котором равенство достигается на паре единиц и паре минус-единиц)

[arqady]

DeBill в сообщении #1452784 писал(а):

Красиво! Но непонятно, как до этого допереть...

Три раза воспользоваться

$$(x^2+y^2)(z^2+t^2)=(xz+yt)^2+(xt-yz)^2$$

[Утундрий]

Ещё вариант. При появлении $1 + a^2 $ наружу так и просится $a = \operatorname{sh} \alpha $. А потом что-то по формулам произведения в сумму нарисовалось бы.

[DeBill]

arqady в сообщении #1452926 писал(а):

Три раза воспользоваться

!!!!