Нахождение простых чисел по гипотезе Гольдбаха

[Побережный Александр]

Усилим гипотезу Гольдбаха.
Любое четное натуральное число больше $6$ можно представить в виде суммы различных двух простых чисел.
Пусть есть четное натуральное число $N$, причем $N=p+q$, где $p, q$ простые числа и $p<q$ для определенности.
Тогда произвольное большое простое число $q$ можно представить так: $q=N-p$, где $p$-маленькое простое число.
Иначе говоря, чтобы найти большое простое число надо от сравнимого четного числа $N$ поочередно отнимать подряд идущие простые числа, начиная с $3$. И этот процесс обязательно остановится, когда будут два простых числа.
По моим наблюдениям, достаточно перебирать простые $p<(ln(N))^2$ и почти всегда находится пара простых $p$ и $q$.
Проверил выполнение этого условия для четных до 1500, только в трех случаях это условие не выполнялось.
Случайным образом брал 1000-значное четное число и в течение 10 минут находилась пара простых, которые в сумме давали это четное число и выполнялось указанное условие.
Как часто не выполняется условие $p<(ln(N))^2$ сказать не могу.

[Someone]

А зачем гипотеза Гольдбаха? Просто берите арифметическую прогрессию с взаимно простыми первым членом и разностью, будет нисколько не хуже.

[hurtsy]

Someone в сообщении #1449723 писал(а):

А зачем гипотеза Гольдбаха?

Имхо, у ТС такой хитрый способ привлечь внимание. Тем не менее есть предмет для дискуссии, пока ЗУ имеет терпение ожидать ответ ТС . Гипотеза

Побережный Александр в сообщении #1449712 писал(а):

По моим наблюдениям, достаточно перебирать простые $p<(\ln(N))^2$ и почти всегда находится пара простых $p$ и $q$.

хороша только для поиска q при малых p. Для пары больших простых будет

Побережный Александр в сообщении #1449712 писал(а):

почти всегда находится пара простых $p$ и $q$

трудность задачи сравнима с поиском больших близнецов.

Побережный Александр в сообщении #1449712 писал(а):

Как часто не выполняется условие $p<(\ln(N))^2$ сказать не могу.

в любом случае нужно обосновать такое смелое утверждение.

[Dmitriy40]

Побережный Александр в сообщении #1449712 писал(а):

Как часто не выполняется условие $p<(\ln(N))^2$ сказать не могу.

Довольно часто:
$<10^2: 0$
$<10^3: 2$
$<10^4: 17$
$<10^5: 162$
$<10^6: 1356$
$<10^7: 9295$
$<10^8: 69003$
$<10^9: 483619$
Хотя растёт довольно медленно, вернее лишь немного медленнее роста самих чисел.

[Побережный Александр]

Dmitriy40 в сообщении #1476722 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #1449712 писал(а):

Как часто не выполняется условие $p<(\ln(N))^2$ сказать не могу.

Довольно часто:
$<10^2: 0$
$<10^3: 2$
$<10^4: 17$
$<10^5: 162$
$<10^6: 1356$
$<10^7: 9295$
$<10^8: 69003$
$<10^9: 483619$
Хотя растёт довольно медленно, вернее лишь немного медленнее роста самих чисел.

Интересно, с ростом числа $N$ доля таких неудобных чисел $p$ неуклонно снижается.
Другими словами, чем больше число $N$, тем с большей вероятностью сработает алгоритм поиска большого простого числа по гипотезе Гольдбаха.

[hurtsy]

1. "Случайным образом брал 1000-значное четное число и в течение 10 минут находилась пара простых, которые в сумме давали это четное число и выполнялось указанное условие"
2. "Как часто не выполняется условие $p<(\ln(N))^2$ сказать не могу."

К номеру 2 никаких вопросов.
К номеру 1 есть вопросы

1. Какой генератор "случайного образа" используется, насколько он случайный?
2. Каким образом определяете простоту найденного простого?

[Побережный Александр]

Гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое четное натуральное число больше либо равно 4 можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Но если учесть, что для любого натурального $N$ количество простых чисел в промежутке $[N,\sqrt{N}]$ больше $\sqrt{N}$, то можно усилить утверждение Гольдбаха.

Усиление гипотезы Гольдбаха.
Начиная с некоторого натурального числа $N_0$, любое четное натуральное число $N$ можно представить в виде суммы двух простых чисел, причем меньшее не больше числа $\sqrt{N}$.

Другая формулировка.
Любое четное натуральное число $N>2$ можно представить в виде суммы двух простых чисел, причем меньшее не больше числа $\sqrt{N}$, кроме конечного числа исключений.

Пример: $96=7+89$, где $7<\sqrt{96}$
Пример исключения: $98=19+79$

[Pphantom]

Объединено с одной из предыдущих тем того же автора той же тематики.