Что подразумевалось о втором законе Кеплера в книге?

[wrest]

frostysh в сообщении #1441925 писал(а):

. Из соображений эллиптичности, максимальна скорость будет при минимальном расстоянии к Солнцу,

Это следует из гораздо более ясных соображений сохранения (постоянства) суммы кинетической и потенциальной энергий и справедливо не только для эллипса, но и для других траекторий.

[frostysh]

Если немного подкоректировать немного неправильную в плане коэффициентов функцию разброса, и учесть слагаемые с $e^{2}$, в результате будет что-то такое

$$P_{v} = \dfrac{\vartriangle \negthickspace v}{v_{c}} = \sqrt{\dfrac{3 + 2e - e^{2}}{2\left(1 - e\right)}} - \sqrt{\dfrac{3 - 4e + e^{2}}{2\left(1 + e\right)}}.$$

Нарисовав соответствующий график ниже мы получим некую быстро взмывающую вверх линию опять...



Чего как-бы и не должно быть. Например выберем планету солнечной системы нашей, а именно Меркурий. У нас будет

$$v_{\textit{макс}} = \sqrt{GM}\sqrt{\left(\dfrac{2}{0.307 \thinspace \texttt{a.} \thinspace \texttt{e.}} - \dfrac{1}{0.387 \thinspace \texttt{a.} \thinspace \texttt{e.}}\right)} = 1.15 \cdot 10^{10} \dfrac{\sqrt{\texttt{м}^{3}}}{\texttt{с}} \cdot \sqrt{3.93} \dfrac{1}{\sqrt{\texttt{а.} \thinspace \texttt{e.}}} = \dfrac{2.28}{\sqrt{1.5}} \cdot \dfrac{10^{10}}{\sqrt{10^{11}}} \dfrac{\texttt{м}}{\texttt{с}} =$$

$$= \dfrac{1.86}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{10^{10}}{\sqrt{10^{10}}}\dfrac{\texttt{м}}{\texttt{с}} = 5.9 \cdot 10^{4} \dfrac{\texttt{м}}{\texttt{с}},$$

что в общем то похоже по идее на истину, теперь тоже самое для минимальной скорости Меркурия

$$v_{\textit{мин}} = \sqrt{GM}\sqrt{\left(\dfrac{2}{0.47 \thinspace \texttt{a.} \thinspace \texttt{e.}} - \dfrac{1}{0.387 \thinspace \texttt{a.} \thinspace \texttt{e.}}\right)} = 1.15 \cdot 10^{10} \dfrac{\sqrt{\texttt{м}^{3}}}{\texttt{с}} \cdot \sqrt{1.67} \dfrac{1}{\sqrt{\texttt{а.} \thinspace \texttt{e.}}} = \dfrac{1.49}{\sqrt{1.5}} \cdot \dfrac{10^{10}}{\sqrt{10^{11}}} \dfrac{\texttt{м}}{\texttt{с}} =$$

$$= \dfrac{1.21}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{10^{10}}{\sqrt{10^{10}}}\dfrac{\texttt{м}}{\texttt{с}} = 3.8 \cdot 10^{4} \dfrac{\texttt{м}}{\texttt{с}}.$$

Но кроме эллиптический орбитальных скоростей нам нужна еще и круговая, вот тут и была найдена ошибка в формулах в тетради! Круговой радиус орбиты Меркурия оказался больше размера главной полуоси эллипса орбиты. Капец... Уже второй раз так путаю фокус и главную полуось, первый был в простенькой задачи которую долго не мог решить и не понимал почему ответы не совпадают. Можно было выше это все не печатать, но мне жаль было стирать столько Латеху.
Да найдем же новый, верный круговой радиус!

$$r_{c} = ea + \dfrac{a - ea}{2} = \dfrac{e + 1}{2}a$$

Соответственно и новая формула для круговой скорости

$$v_{c} = \sqrt{GM}\sqrt{\dfrac{1}{a}}\sqrt{\dfrac{2}{e + 1}},$$

с которой тут же получается выражение для разброса

$$P_{v} = \dfrac{\sqrt{GM}\sqrt{\dfrac{1}{a}}\left( \negthickspace \sqrt{\dfrac{1 + e}{1 - e}} - \sqrt{\dfrac{1 - e}{1 + e}}\right)}{\sqrt{GM}\sqrt{\dfrac{1}{a}}\sqrt{\dfrac{2}{e + 1}}} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{1 + e}{1 - e}} - \sqrt{\dfrac{1 - e}{1 + e}}}{\sqrt{\dfrac{2}{e + 1}}} = \sqrt{2}\dfrac{e}{\sqrt{1 - e}},$$

и нарисуем ка мы график разброса в зависимости от эксцентриситета...



Опять что-то не то что ожидалось. Может апроксимацию неправильную выбрал? Разлет в скоростях для Меркурия получается по $40\%$ за графиком, это конечно много. А как это численно будет

$$v_{c} = 1.15 \cdot 10^{10} \dfrac{\sqrt{\texttt{м}^{3}}}{\texttt{с}} \cdot 2.07 \dfrac{1}{\sqrt{\texttt{a.} \thinspace \texttt{e.}}} = 6.15 \cdot 10^{4} \dfrac{\texttt{м}}{\texttt{с}},$$

значения разброса в процентах для Меркурия

$$P_{v} = 34\%.$$

Либо сначала неправильно апроксимировал эллипс окружностью, либо таки правда, что разлет в скоростях, а следовательно неравномерность движения будет большая и расти будет с огромной скоростью когда эксцентриситет эллиптической орбиты приближается к единице, надо бы посчитать сколько на единицу длины получиться разброс в среднем. Черт, наверное ошибся в рассуждениях, ну ладно, подумаю... Мож не ту скорость взял, надо было среднюю какую-то? Но как связать среднюю скорость с кругом и эллипсом?

А пока я понял, по идее, что:

• на самом деле мы могли площадь треугольника взять "с потолка", как аксиому, если бы наперед знали ее с математического анализа;
• формулу в книге можно воспринимать просто как результат неких математических действий, которые мы потом использовали в физической модели а не как формулу которая получалась с физической модели;
• без математического анализа физическую модель эллиптической орбиты и второго закона Кеплера не так то просто построить, круговые приближения не проходят, слишком огромная неравномерность.

DimaM

Интересная формула кстати, буду разбираться! Пока не особо понятная...

wrest

Ну да, наверное так проще представить свободное движение спутника там какой-то планеты под действием силы тяжести. Но я просто подумал что не увеличивается же скорость когда расстояние возрастает в случае эллиптической орбиты.

[wrest]

frostysh в сообщении #1442164 писал(а):

Но я просто подумал что не увеличивается же скорость когда расстояние возрастает в случае эллиптической орбиты.

Вы никак не вкурите. Сумма энергий постоянна. Увеличение расстояния означает увеличение потенциальной энергии, а значит уменьшение кинетической (и скорости). Хоть эллипс там хоть парабола хоть гипербола.
И это (сохранение энергии) касается не только свободных падений. А, например, математических маятников. Этот факт помогает заменить все эти длинные формулы на короткие формулы и отвлечься от вида траектории...
Ваши "аппроксимации эллипса окружностью" лично мне кажутся если не бредом, то чем-то похожим на мозговой онанизм, простите за прямоту.

[miflin]

(Оффтоп)

frostysh в сообщении #1442164 писал(а):

Уже второй раз так путаю фокус и главную полуось

Это не худшая путаница - спутать точку и отрезок.
Хуже другое:

frostysh в сообщении #1442164 писал(а):

Можно было выше это все не печатать, но мне жаль было стирать столько Латеху.

Вы спутали форум с предметом, куда бросают использованную туалетную бумагу.

[frostysh]

Наверное можно как-то подобрать $r_{c}$, чтобы уменьшить относительный разброс скоростей, но! Я понял главное! Даже небольшая эллиптичность в орбите приводит к большой относительной неравномерности движения. Все ровно $v_{c} = kr_{c}^{-0.5}$, и функция будет довольно быстро расти, я просто сначала думал что вдруг там какие-то доли процента и можно не только математически заменить эллипс окружностью но это и физически целесообразно, оказалось нет.

wrest

Спасибо, я вроде понимаю о чем идет речь. Правда проблема в том, что еще не дошел до изучения, хотелось бы сказать повторения, но нет, изучения гамильтонового формализма где берется сумма кинетической и потенциальной энергий, законы сохранения, принцип наименьшего действия и на основании этого строится механизм классической механики, простите за тавтологию. Поэтому воображать это все строго в голове мне сложновато...
Куда проще проще была следующая логика: скорость переменная, эллипс замкнутая кривая, скорость не может увеличиваться когда планета летит от Солнца иначе оно улетит, а значит скорость уменьшается, а значит где-то есть минимум и максимум, а точней это на изгибах эллипса.

(miflin)

miflin в сообщении #1442232 писал(а):

Хуже другое:

frostysh в сообщении #1442164 писал(а):

Можно было выше это все не печатать, но мне жаль было стирать столько Латеху.

Вы спутали форум с предметом, куда бросают использованную туалетную бумагу.

Если вам не нравиться что администрация форума позволяет его так замусоривать с моей стороны, напишите на меня жалобу...

[pogulyat_vyshel]

мнда, как только люди от безделья не маются..

[miflin]

(Оффтоп)

frostysh в сообщении #1442267 писал(а):

напишите на меня жалобу

Для меня написать жалобу (на кого бы то ни было) ещё труднее, чем поверить в ту ахинею, которую Вы здесь несете.

[frostysh]

miflin

В любом случае мне удалось опровергнуть свою догадку что если мы заменим круговую орбиту чуть-чуть эллиптической вокруг тяжелого гравитационного тела, ну например Солнца, то неравномерность движения измениться тоже чуть-чуть. На самом деле не чуть-чуть, а довольно ощутимо выходит изменение. Уже результат! Мне от этого спокойней теперь почему-то, и с какой кстати это ахинея? Также у меня получилось более-менее разобраться в том абзаце книги, тоже лучше стал себя чувствовать.

(pogulyat_vyshel)

Если ваша корявая пунктуация и отсутствие заглавных букв это не просто систематические ошибки, а так называемая стеганография (это раздел криптографии изучающий маскировку информации), точней стеготекст, то попрошу в сообщениях мне такого не употреблять. Причина проста — я знаю что такое есть, я знаю что его например используют в так называемой ИТ-тусовке кроме всего прочего нонсенса, в основном люди популярных на сегодня идеологических движняков, но расшифровывать ваш покорный слуга стеготекст не умеет! То есть я вижу корявую пунктуацию, и вижу что что-то не так, но понять даже, мне ли это сообщение, или кому-то другому, не могу, поэтому часто выходит следующее: человек на форуме "стеганит" в сообщениях мне, я не отвечаю стеготекстом ибо ничерта не понимаю, человек обижается и думает что его игнорируют... Тупизна как на меня.

[wrest]

frostysh в сообщении #1442267 писал(а):

Куда проще проще была следующая логика: скорость переменная, эллипс замкнутая кривая, скорость не может увеличиваться когда планета летит от Солнца

Опять эллипс... а парабола и гипербола -- незамкнуты. И что? Закон площадей-то остается в силе...
Да кстати. Вам на заметку. Для $e<1$, $\dfrac{v_{max}}{v_{min}}=\dfrac{1+e}{1-e}$

[frostysh]

wrest

Закон площадей ведь работает когда мы постоянно действующую силу заменяем толчками, Вы об этих площадях? Это сложней чем мои рассуждения, там надо дифференциальный анализ использовать, как у Ньютона, и статью еще мне советовали где у Гука тоже это все есть, и эллипсы там.
На счет скоростей, да, действительно

$$\dfrac{v_{\texttt{макс}}}{v_{\texttt{мин}}} = \dfrac{\sqrt{1 + e}}{\sqrt{1 - e}} \cdot \dfrac{\sqrt{1 + e}}{\sqrt{1 - e}} = \dfrac{1 + e}{1 - e},$$

то есть получиться во сколько раз максимальна скорость больше минимальной, но все ровно без хоть какой-то попытки апроксимации эллипса кругом я бы не понял что так сильно движение стает неравномерным даже если посмотреть на график такого отношения.

[wrest]

frostysh в сообщении #1442305 писал(а):

Закон площадей ведь работает когда мы постоянно действующую силу заменяем толчками, Вы об этих площадях?

Нет, про "толчки" я ничего не писал. Я писал о втором законе Кеплера, который остается в силе и для параболы и для гиперболы, а не только для эллипса. Более того, закон равных площадей остается справедливым для любых центральных сил.

В справедливости частного случая нулевой центральной силы, когда движение происходит равномерно-прямолинейно, и за центр силы можно принять любую точку, вы уже имели возможность убедиться ранее.

[Someone]

frostysh в сообщении #1442305 писал(а):

Закон площадей ведь работает когда мы постоянно действующую силу заменяем толчками

По-моему, frostysh издевается над отвечающими. Мало было белиберды про замену эллипса окружностью, так теперь ещё и "толчки" в законе всемирного тяготения появились.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1442314 писал(а):

"толчки" в законе всемирного тяготения появились.

Гм. Скоро роды?

[Someone]

(Утундрий)

Утундрий в сообщении #1442317 писал(а):

Скоро роды?

Это пускай frostysh сообщит, поскольку это он их почувствовал:

frostysh в сообщении #1442305 писал(а):

Закон площадей ведь работает когда мы постоянно действующую силу заменяем толчками

[frostysh]

Мне на другом форуме напечатали что у меня центр окружности не там где Солнце в апроксимации эллиптической орбиты круговой, но это конечно ничего не значит, в формулу расположение центра не входит, но! Это привело меня к мысли что нужно нарисовать и построить график для Меркурия с эллиптической орбитой эксцентриситет которой примерно $e = 0.2$, и тут наконец мне удалось представить всю картину целиком, сообразить что моя апроксимация круговой орбиты с радиусом в прошлых обозначениях $r_{c} = a\left(e + 1\right) \negthickspace /2$ на самом деле работает довольно хорошо для примерно $e \geqslant 0.8$, и довольно таки плохо для орбиты Меркурия, но приводит к качественно правильному результату!



Эллиптическая орбита Меркурия изображена синей линией, фокусы в точка $-F$ и $+F$, $a$ — главное полуось, хорошая апроксимация буде $r_{c} = a$ и изображено оно черной окружностью, и соответственно синим изображена функция разброса скоростей эллиптической орбиты по отношению к круговой в зависимости от эксцентриситета. Зеленым изображена прежнее приближение, и функция разброса для него.
Как видно изменение круговой орбиты, всего лишь на $5\%$, например в нашем случае немного прижать круг сверху и снизу, приводит к тому что неравномерность движения по новой эллиптической орбите составит $40\%$ от прежней скорости, черт, никогда бы не подумал!

wrest

Я в то смысле что, а как можно показать справедливость закона равных площадей без использования бесконечно малых и полного арсенала дифференциального анализа как сделал допустим Ньютон? Вот я и подумал что нужны бесконечно малые толчки.

Someone

Нет, Вы ошибаетесь, я ни над кем не хочу издеваться и не делаю этого. И никакая это не билиберда, там все более-менее совпадает с данными астрономических наблюдений, я для Меркурия пересчитывал.