Помогите с некоторыми нюансами пределов.

[amon]

mihaild в сообщении #1439711 писал(а):

Как доказывается формула суммы геометрической прогрессии?

Я дико извиняюсь, но где здесь

$$\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{n}{N}\right)^{N}$$

геометрическая прогрессия?

[Farid123]

Я не это имею ввиду, в первой скобке когда мы применили формулу суммы пределов, у нас получилось $\left(1+e^{-1}+e^{-2}+e^{-3}+...+e^{n}\right)$ сумма чего равна $\frac{\left(e^{n}-1\right)}{e^{\left(n-1\right)}\cdot\left(e-1\right)}$.Но это не желаемый ответ, ибо это должно быть конкретное число ( в нашем случае $\frac{e}{e-1}$)
что является результатом суммы не конечной, а бесконечной прогресии.

[mihaild]

amon в сообщении #1439712 писал(а):

где здесь $\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{n}{N}\right)^{N}$геометрическая прогрессия?

Последние члены этой суммы - почти что первые члены прогрессии $e^{-n}$.

Farid123, я что-то пропустил - откуда у вас в пределах одной суммы переменный показатель возник, скажем почему третий член $\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{x - 2}$ а не $\left(1 - \frac{2}{x}\right)^x$?

Farid123 в сообщении #1439713 писал(а):

Но это не желаемый ответ

Естественно, там же еще вторая часть суммы, которая не равна нулю.

[Farid123]

amon

там её не видно, она после применения лимита суммы видна бывает, если вы предыдущие посты читали.Ну а так я думал над формулой которую вы только что написали. Тоесть я подумывал найти $\lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^{x}\left(\frac{n}{x}\right)^{n}$
применив теорему о двух милицианерах использовав такую сумму которая всегда меньшье суммы которую мы хотим найти $\sum_{n=1}^{x}\left(\frac{n}{x}\right)^{x}$ и такую сумму$\sum_{n=1}^{x}\left(\frac{n}{x-\frac{6}{x}}\right)^{x}$ которая всегда больше опять же той суммы предел которой пытаемся найти. Но это показалось слишком сложно найти пределы этих двух сумм, поэтому вернулся к первоночальной идее.

-- 13.02.2020, 18:24 --

Автор задачи явно знал что сложность задачи в том что предел такой суммы по сути через определенный интеграл самой функции на отрезке [0;1] найти не получится

-- 13.02.2020, 18:25 --

mihaild
Ну теперь значит проблема со второй скобкой возникает

[mihaild]

Farid123 в сообщении #1439718 писал(а):

Ну теперь значит проблема со второй скобкой возникает

Ну я же вам написал, что делать. Оцените сверху почленно вторую скобку чем-нибудь не зависящим от $x$ так, чтобы сумма этих оценок сходилась к нулю при $n \to \infty$.

[Farid123]

mihaild
После оценки сверху когда $n\rightarrow \infty$ , сумма будет стремится к нулю, а число членов в первой скобке будет стремится к бесконечности,что даст нам бесконечно убывающию прогрессию я правильно понял?
И если это так, дозволино ли нам стремить ${n}$ к бесконечности?
Вы заранее простите , да возможно я задаю глупые порой вопросы сам того не зная, просто как и сказал ранее, пока всего этого не прошли толком.

[mihaild]

Если непонятно - то работайте просто по определению предела, там запутаться не получится.
Устремлять $n$ никуда не надо. Надо по $\varepsilon$ найти $n$, а потом $x_0$ так чтобы все наши три компоненты

mihaild в сообщении #1439691 писал(а):

члены после $n$-го; отличие $n$-й частичной суммы самой геометрической прогрессии от её полной суммы; отличие первых $n$ членов нашей суммы от $n$-й частичной суммы геометрической прогрессии

были малы.

[Farid123]

Хорошо , попробую. Спасибо больше.