Введем фундаментальное понятие равномерной непрерывности фун

[Alexey Rodionov]

Во многих учебниках видел эту фразу.
А что на этом понятии строится?
Вот это нашел

https://users.math.msu.edu/users/shapir ... _notes.pdf

и все. Может, чего-то я не разглядел на фундаменте?

[пианист]

(Оффтоп)

По топику, увы, ничего сообщить не имею.
Но вот мне рассказывали, что именно этого, равномерной непрерывности, не знал С.Н. Бернштейн, по каковой причине был отражен Санкт-Петербургским университетом, при том, что был к этому времени уже восходящей звездой.

[SiberianSemion]

Alexey Rodionov в сообщении #1428768 писал(а):

А что на этом понятии строится?

В определенном смысле строятся равномерные пространства, которые выражают идеи, близкие к топологическим. Но да, это нельзя назвать фундаментом.

[Someone]

Слово "фундаментальный", вообще говоря, не означает, что понятие является фундаментом всего на свете. В данном случае речь идёт о том, что понятие равномерной непрерывности (и близкое понятие равномерной сходимости) является важным, поскольку встречается во многих случаях как достаточное условие для других, очевидно полезных свойств.

[SiberianSemion]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1428809 писал(а):

В данном случае речь идёт о том, что понятие равномерной непрерывности (и близкое понятие равномерной сходимости) является важным, поскольку встречается во многих случаях как достаточное условие для других, очевидно полезных свойств.

Кстати, а занимаются ли до сих пор равномерными структурами, не знаете? Пользуясь случаем, так сказать, спрашиваю, а вдруг в поле вашего зрения есть, ребята, продвигающие... А то я как-то за этим давно не слежу (последнее, что мне попадалось $-$ труды Смирнова по близостям и теории размерности, 40-ых годов...) Я тогда засомневался (и сейчас сомневаюсь), что из равномерных структур можно выжать что-то нетривиальнее теоремы Широта.

[Alexey Rodionov]

Someone в сообщении #1428809 писал(а):

Слово "фундаментальный", вообще говоря, не означает, что понятие является фундаментом всего на свете. В данном случае речь идёт о том, что понятие равномерной непрерывности (и близкое понятие равномерной сходимости) является важным, поскольку встречается во многих случаях как достаточное условие для других, очевидно полезных свойств.

В каких случаях?

-- 04.12.2019, 17:57 --

В случае известных мне базовых курсов анализа "фундаментальное" иногда "важное" понятие равномерной непрерывности встречается лишь в единственном параграфе первого тома. Может быть, можно без него обойтись? Равномерные сходимость и ограниченность действительно работают. Без них трудно.

[pogulyat_vyshel]

Например, понятие равномерной непрерывности используется при доказательстве того, что всякая непрерывная на отрезке функция приближается равномерно гладкими функциями

[mihaild]

(UPD: бред)

pogulyat_vyshel в сообщении #1428865 писал(а):

понятие равномерной непрерывности используется при доказательстве того, что всякая непрерывная на отрезке функция приближается равномерно гладкими функциями

Это не совсем честно - в самом вопросе (о равномерном приближении) уже используется это понятие.

Alexey Rodionov, одно из полезных свойств равномерно непрерывных функций, которым не обладают просто непрерывные - то, что равномерно непрерывную функцию, определенную на подмножестве, можно продолжить до непрерывной функции на всём множестве. Поэтому один из способов построить какую-то функцию - это определить её на плотном подмножестве, доказать равномерную непрерывность, и дальше доопределить на всём множестве.

[pogulyat_vyshel]

mihaild в сообщении #1428868 писал(а):

Это не совсем честно - в самом вопросе (о равномерном приближении) уже используется это понятие.

нет не используется

[mihaild]

pogulyat_vyshel в сообщении #1428869 писал(а):

нет не используется

А, я читать не умею. Пардон.

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1428868 писал(а):

Alexey Rodionov, одно из полезных свойств равномерно непрерывных функций, которым не обладают просто непрерывные - то, что равномерно непрерывную функцию, определенную на подмножестве, можно продолжить до непрерывной функции на всём множестве. Поэтому один из способов построить какую-то функцию - это определить её на плотном подмножестве, доказать равномерную непрерывность, и дальше доопределить на всём множестве.

К своему стыду, не слышал о таком свойстве. А может, знал да забыл.
А в каких например задачах или теоремах оно используется?
И где вообще описано, кроме той ссылки, которую привёл ТС?
Для каких "функций" справедливо? Например для операторов в метрических пространствах это верно?

[mihaild]

Mikhail_K в сообщении #1428871 писал(а):

А в каких например задачах или теоремах оно используется?

Оно очень активно используется для линейных операторов (для них непрерывность и равномерная непрерывность совпадают). Для произвольных функций я навскидку не помню.

Теорема о продолжении справедлива для всех равномерно непрерывных функций на метрических пространствах (вроде получается, что из условий в ней, кроме равномерной непрерывности, только необходимые для формулировки).

[pogulyat_vyshel]

я думаю, что там даже всюду плотность и не нужна. Думаю, должно быть как-то так: если функция со значениями в полном метрическом пространстве равномерно непрерывна на подмножестве метрического пространства то она продолжается до непрерывной функции в замыкание этого множества

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1428872 писал(а):

Оно очень активно используется для линейных операторов (для них непрерывность и равномерная непрерывность совпадают).

Этот пример мне сразу пришёл в голову, как только я про это свойство прочитал. Нет, интересуют конечно же нелинейные. Может быть кто-то знает?

[Alexey Rodionov]

mihaild в сообщении #1428868 писал(а):

(UPD: бред)

pogulyat_vyshel в сообщении #1428865 писал(а):

понятие равномерной непрерывности используется при доказательстве того, что всякая непрерывная на отрезке функция приближается равномерно гладкими функциями

Это не совсем честно - в самом вопросе (о равномерном приближении) уже используется это понятие.

Alexey Rodionov, одно из полезных свойств равномерно непрерывных функций, которым не обладают просто непрерывные - то, что равномерно непрерывную функцию, определенную на подмножестве, можно продолжить до непрерывной функции на всём множестве. Поэтому один из способов построить какую-то функцию - это определить её на плотном подмножестве, доказать равномерную непрерывность, и дальше доопределить на всём множестве.

По этому поводу ссылка на Шапиро дана. Мне показалось маловато.

-- 05.12.2019, 00:05 --

Так зачем говорят про равномерную непрерывность в базовых курсах анализа?