Нахождение предела

[Vladonpw]

$$\lim\limits_{x \to 0+}^{} {(\ln \ctg{x})}^{\tg{x}}$$

Пытался разлагать в ряд маклорена, что-то сделать через нахождение логарифма этого выражения, но никак ничего не получается.

[Dan B-Yallay]

Куда стремятся $\ln \ctg x$ и $\tg x$?

[Vladonpw]

Dan B-Yallay в сообщении #1425379 писал(а):

Куда стремятся $\ln \ctg x$ и $\tg x$?

К бесконечности и к нулю соответственно

[Dan B-Yallay]

И какие знаете методы раскрытия подобных неопределённостей?

[Vladonpw]

Dan B-Yallay в сообщении #1425383 писал(а):

И какие знаете методы раскрытия подобных неопределённостей?

Логарифмирование, о котором я упомянул выше, но ни к чему не пришел.

[Dan B-Yallay]

Лопиталя еще не проходили?

[Vladonpw]

Dan B-Yallay в сообщении #1425394 писал(а):

Лопиталя еще не проходили?

Кхм, а каким образом Вы предлагаете его здесь применить?

[Dan B-Yallay]

Vladonpw в сообщении #1425408 писал(а):

Кхм, а каким образом Вы предлагаете его здесь применить?

Если я отвечу, то это будет фактически решением учебной задачи и против правил форума.

Раскрытие неопределённостей

[Vladonpw]

Dan B-Yallay в сообщении #1425409 писал(а):

Vladonpw в сообщении #1425408 писал(а):

Кхм, а каким образом Вы предлагаете его здесь применить?

Если я отвечу, то это будет фактически решением учебной задачи и против правил форума.

Раскрытие неопределённостей

Нахожу предел выражения, получаeмоего после логарифмирования:

$$\lim\limits_{x \to 0+}^{} \ln{(\tg{x} \cdot \ln{(\ctg{x}}))} = \ln{\lim\limits_{x \to 0+}^{} \frac{\ln{\ctg{x}}}{\ctg{x}}}$$

После применения правила лопиталя получил $\ln{0}=-\infty$, соответсвенно $e^{-\infty}=0$, но ответ $1$

[Dan B-Yallay]

Vladonpw в сообщении #1425414 писал(а):

Нахожу предел выражения, получаeмоего после логарифмирования:

$$\lim\limits_{x \to 0+}^{} \ln{(\tg{x} \cdot \ln{(\ctg{x}}))} = \ln{\lim\limits_{x \to 0+}^{} \frac{\ln{\ctg{x}}}{\ctg{x}}}$$

Чего-то вы не то сделали...Проверьте

В левой части что-то при логарифмировании поломалось.

[Vladonpw]

Dan B-Yallay в сообщении #1425417 писал(а):

Vladonpw в сообщении #1425414 писал(а):

Нахожу предел выражения, получаeмоего после логарифмирования:

$$\lim\limits_{x \to 0+}^{} \ln{(\tg{x} \cdot \ln{(\ctg{x}}))} = \ln{\lim\limits_{x \to 0+}^{} \frac{\ln{\ctg{x}}}{\ctg{x}}}$$

Чего-то вы не то сделали...Проверьте

В левой части что-то при логарифмировании поломалось.

$\tg{x}$ случайно под логарифм занес, после исправления получился $0$ и соответственно $e^{0}=1$. Спасибо за помощь) Как-то даже странно получилось, очень много исписал, но пропустил эти моменты)

[Dan B-Yallay]

Vladonpw в сообщении #1425419 писал(а):

пропустил эти моменты

У практически всех бывает.

[Padawan]

Тут и без Лопиталя все понятно. После логарифмирования получается неопределенность $\tg x\ln\ln\ctg x$ типа $0\cdot\infty$, при этом $\tg x\sim x$, $\ctg x\sim \frac{1}{x}$. Так что, даже если бы был только один логарифм, уже получился бы предел $0$ (логарифмическая функция растет медленнее любой степенной), а тут даже двойной логарифм, то есть еще более медленный рост.