Зорич: достаточные условия экстремума

[oleg.k]

wrest в сообщении #1424520 писал(а):

Как тогда вообще сказать - локальный минимум там, локальный максимум или ни то ни другое?

Уточните пожалуйста вопрос. В процитированном Вами фрагменте речь идет об этом: post1424429.html#p1424429.

[Brukvalub]

oleg.k в сообщении #1424512 писал(а):

Пока я не вижу ни одной причины, считать, что, например, функция $f(x) = x^3$ на отрезке $[1, 2]$ не удовлетворяет теореме Лагранжа. Да, я немного ослабляю ограничения в определениях Зорича.

Совсем дичь пошла... Я с вами обсуждал не т. Лагранжа, а определение высших производных . При чем здесь т. Лагранжа? Повторите формулировку этой т., в ней не упоминаются высшие производные, а упоминается только первая.

[wrest]

oleg.k в сообщении #1424526 писал(а):

Уточните пожалуйста вопрос.

Вы, как я понял, рассуждали о возможности

oleg.k в сообщении #1424512 писал(а):

убрать требование для функции $f$ быть определенной в некоторой окрестности точки $x_0$,

То есть убрать это требование оттуда, где оно заявлено, а именно отсюда

oleg.k в сообщении #1424276 писал(а):

Утверждение 4. (достаточные условия экстремума в терминах высших производных). Пусть функция $f: U(x_0) \to \mathbb{R}$, определенная в окрестности $U(x_0)$ точки $x_0$,

Вот я и спросил -- а что тогда такое локальный экстремум в $x_0$ если не существует никакой окрестности точки $x_0$ в которой определена $f$.

[oleg.k]

Brukvalub в сообщении #1424528 писал(а):

Совсем дичь пошла... Я с вами обсуждал не т. Лагранжа, а определение высших производных . При чем здесь т. Лагранжа?

Это просто пример. Иногда я привожу примеры, чтобы подкрепить свои тезисы. Люди иногда так делают. Приводят примеры, чтобы точнее и выразительнее сформулировать некоторую мысль. Не понимаю, почему это Вас удивляет. И моя мысль очень простая: определение высших производных у Зорича (которое Вы со мной обсуждали) содержит слишком сильные ограничения. Я эти ограничения ослабил и сформулировал другое определение:

oleg.k в сообщении #1424512 писал(а):

Пусть есть функция $f: E \to \mathbb{R}$. Пусть $f$ дифференцируема в точках $E' \subset E$. Тогда можно определить функцию $f': E' \to \mathbb{R}$, которую будем называть производной функцией функции $f$. Вторую производную (и вообще, высшие) определяем аналогично. У Зорича производная обязана быть определенной на том же множестве, что и сама функция. У меня не обязана.

Вы меня отсылали смотреть учебник Зорича, но зачем? С его определениями все легко и просто. Жаль только, что половину функций не получится исследовать, если строго их придерживаться. И это не голословное утверждение: я привел 3 случая, когда определения Зорича нельзя применять, но это противоречит здравому смыслу. Первый из этих примеров связан с равномерной непрерывностью, второй - с теоремой о промежуточном значении, третий - с теоремой Лагранжа. Но я, как я уже говорил ранее, спокойно отношусь к формализму определений Зорича. Я их беру и формулирую без зубодробительных ограничений. Математическое содержание от этого только расширяется. Хотя, я не исключаю, что некоторые теоремы, возможно, придется немного переформулировать. Собственно, основной вопрос как раз сводится к той теореме Зорича, которую я процитировал в стартовом посте: будет ли она верна, если принять мое определение высших производных. Я считаю, что нет, но контрпример привести не могу. С чем и обратился за помощью.

-- 07.11.2019, 15:20 --

wrest в сообщении #1424532 писал(а):

Вы, как я понял, рассуждали о возможности

oleg.k в сообщении #1424512 писал(а):

убрать требование для функции $f$ быть определенной в некоторой окрестности точки $x_0$,

Нет. Если убрать это требование, то все очевидно. Точный тезис выглядит так:

oleg.k в сообщении #1424429 писал(а):

Вообще говоря, даже если у некоторой функции есть ненулевая вторая производная в некоторой точке $x_0$, то из этого не следует существование окрестности $U(x_0)$, в каждой точке которой $f$ будет дифференцируема. Более того, нельзя даже гарантировать существование такой окрестности, в каждой точке которой $f$ будет непрерывна. Т.е. дифференцируемость первой производной ничто не гарантирует.

Вопрос в другом.

Otta в сообщении #1424277 писал(а):

oleg.k в сообщении #1424276 писал(а):

Из того, что функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и у нее в этой точке есть первые 2 производные, еще не следует, что $f$ дифференцируема в каждой точке $U(x_0)$.

Следует. В некоторой окрестности - дифференцируема.

Если коротко, то вопрос в том, "следует" или "не следует"?

Еще короче: если требование убрать, то точно "не следует". Но что будет если требование оставить? Будет следовать или не будет?

[vpb]

oleg.k в сообщении #1424454 писал(а):

По Зоричу, например, функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ не является равномерно непрерывной на отрезке $[1, 2]$. К этой функции даже теорему Больцано-Коши о промежуточном значении на отрезке $[-1, 1]$ нельзя (с т.з. определений Зорича) применять, т.к. по Зоричу она не является на нем непрерывной.

Прошу подтвердить это утверждение цитатой из Зорича, с указанием главы, параграфа, пункта.

-- 07.11.2019, 14:56 --

oleg.k в сообщении #1424536 писал(а):

Собственно, основной вопрос как раз сводится к той теореме Зорича, которую я процитировал в стартовом посте: будет ли она верна, если принять мое определение высших производных. Я считаю, что нет, но контрпример привести не могу. С чем и обратился за помощью.

А почему Вы тогда в стартовом посте не привели свое собственное определение ? В стартовом посте только про Зорича речь была.

[oleg.k]

vpb в сообщении #1424545 писал(а):

oleg.k в сообщении #1424454 писал(а):

По Зоричу, например, функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ не является равномерно непрерывной на отрезке $[1, 2]$. К этой функции даже теорему Больцано-Коши о промежуточном значении на отрезке $[-1, 1]$ нельзя (с т.з. определений Зорича) применять, т.к. по Зоричу она не является на нем непрерывной.

Прошу подтвердить это утверждение цитатой из Зорича, с указанием главы, параграфа, пункта.

У меня издание 2012 года, издательство МЦНМО. В издании 2002 года все то же самое.

Приведу определения из учебника Зорича.

Зорич, непрерывность функции на множестве, с. 179. писал(а):

Определение 3.Функция $f: E \to \mathbb{R}$ называется непрерывной на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке множества $E$.Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на множестве $E$, условимся обозначать символом $C(E, \mathbb{R})$ или, короче, $C(E)$.

С точки зрения определения Зорича, бессмысленно ставить вопрос о непрерывности функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ на отрезке $[1, 2]$, т.к. ее область определения не совпадает с отрезком $[1, 2]$.

Зорич, теорема Больцано-Коши, с. 186. писал(а):

Теорема 2(теорема Больцано-Коши о промежуточном значении). Если функция, непрерывная на отрезке, принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке есть точка, в которой функция обращается в нуль. В логической символике эта теорема имеет следующую запись: $(f \in C[a,b]) \wedge (f(a)\cdot f(b) < 0) \Rightarrow \exists c \in [a,b] (f(c) = 0)$

$f \notin C[-1, 1]$ поэтому применять к ней теорему Больцано-Коши нельзя.

Зорич, теорема Кантора-Гейне, с. 191. писал(а):

Теорема 4(теорема Кантора-Гейне о равномерной непрерывности).Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.

$f$ не является непрерывной на отрезке $[1, 2]$, поэтому применять к ней теорему Кантора-Гейне нельзя. (по Зоричу)

-- 07.11.2019, 16:09 --

Глава IV, $2, пункт 2.

[vpb]

oleg.k в сообщении #1424550 писал(а):

С точки зрения определения Зорича, бессмысленно ставить вопрос о непрерывности функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ на отрезке $[1, 2]$, т.к. ее область определения не совпадает с отрезком $[1, 2]$.

Вы Зоричу что-то совершенное фантастическое приписываете. Ясно, что можно говорить о непрерывности функции на любом подмножестве ее области определения. Единственное, что иногда, когда функция $f$ задана на множестве $E$, а рассматривается ее ограничение на собственное подмножество $X\subset E$, то это ограничение $f|_X$ может быть непрерывно в точке $x\in X$, тогда как сама $f$ оказаться в этой точке разрывной. Но в таких случаях, очевидно, оговаривается, в каком именно смысле выражение "функция непрерывна на множестве" понимать.

[oleg.k]

vpb в сообщении #1424552 писал(а):

Вы Зоричу что-то совершенное фантастическое приписываете.

Я Зоричу ничего не приписываю. И к его учебнику я отношусь очень положительно. И вообще, учебник мне его нравится (в той части, которую я прочитал). Иначе выбрал бы другой.

vpb в сообщении #1424552 писал(а):

Ясно, что можно говорить о непрерывности функции на любом подмножестве ее области определения.

С т.з. определений Зорича - нет. С чем Вы спорите? Там же все очевидно черным по белому написано.

[vpb]

oleg.k в сообщении #1424554 писал(а):

С т.з. определений Зорича - нет.

Докажите, конкретно и предметно. А иначе всё вами написанное можно будет считать троллингом.

[Nemiroff]

vpb в сообщении #1424556 писал(а):

Докажите, конкретно и предметно. А иначе всё вами написанное можно будет считать троллингом.

А может не надо, ну было же уже и разрослось надолго. Темы за авторством ТС.

[vpb]

oleg.k в сообщении #1424550 писал(а):

С точки зрения определения Зорича, бессмысленно ставить вопрос о непрерывности функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ на отрезке $[1, 2]$, т.к. ее область определения не совпадает с отрезком $[1, 2]$.

oleg.k в сообщении #1424554 писал(а):

Я Зоричу ничего не приписываю.

К. Прутков писал(а):

Если на клетке слона увидишь надпись "буйвол" --- не верь глазам своим.

-- 07.11.2019, 15:51 --

Nemiroff в сообщении #1424558 писал(а):

А может не надо,

Л. Гайдай писал(а):

Надо, Федя, надо !

[oleg.k]

vpb в сообщении #1424556 писал(а):

oleg.k в сообщении #1424554 писал(а):

С т.з. определений Зорича - нет.

Докажите, конкретно и предметно. А иначе всё вами написанное можно будет считать троллингом.

Вы попросили

vpb в сообщении #1424545 писал(а):

Прошу подтвердить это утверждение цитатой из Зорича, с указанием главы, параграфа, пункта.

Я Вам привел главу, параграф, пункт и указал конкретные страницы конкретного издания. Я процитировал соответствующие места из учебника и провел соответствующие короткие и простые рассуждения.

oleg.k в сообщении #1424550 писал(а):

С точки зрения определения Зорича, бессмысленно ставить вопрос о непрерывности функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ на отрезке $[1, 2]$, т.к. ее область определения не совпадает с отрезком $[1, 2]$.

oleg.k в сообщении #1424550 писал(а):

$f \notin C[-1, 1]$ поэтому применять к ней теорему Больцано-Коши нельзя.

oleg.k в сообщении #1424550 писал(а):

$f$ не является непрерывной на отрезке $[1, 2]$, поэтому применять к ней теорему Кантора-Гейне нельзя. (по Зоричу)

Nemiroff в сообщении #1424558 писал(а):

А может не надо, ну было же уже и разрослось надолго. Темы за авторством ТС.

Да, я помню ту тему. Тогда я не понимал специфику определений Зорича. Обратился сюда за помощью и мне помогли и разъяснили. post1411446.html#p1411446 - вот соответствующее сообщение уважаемого Brukvalub, который подтвердил мои представления. vpb, с чем Вы со мной не согласны? Все же прозрачно.

[Nemiroff]

ТС, а вам не подойдет какая-то простая функция типа $x^3$ всюду, кроме точек $1/n$, а в этих точках нуль?

-- Чт ноя 07, 2019 17:01:21 --

Я просто к чему: вторую производную в точке с помощью разложения по Тейлору можно же и без знания первой производной в окрестности точки определить.
Другой вопрос: зачем, но в принципе, кажется, можно.

[oleg.k]

Nemiroff в сообщении #1424563 писал(а):

ТС, а вам не подойдет какая-то простая функция типа $x^3$ всюду, кроме точек $1/n$, а в этих точках нуль?

Да, то что надо. Определена на $\mathbb{R}$, вторая производная в нуле равна нулю и вместе с этим есть сколь угодно близкие к нулю точки, в которых она не дифференцируема, т.к. разрывна. Вобщем, "не следует", как я и думал. Спасибо. С первым предложением моего стартового поста разобрались

-- 07.11.2019, 17:17 --

Nemiroff в сообщении #1424563 писал(а):

Другой вопрос: зачем, но в принципе, кажется, можно.

Найти контрпример к теореме Зорича из стартового поста. (с т.з. моего определения высших производных), чтобы затем ее переформулировать корректно (для себя).


Что касается, зачем мне такое определение высших производных, то я уже говорил - не хочу привязываться к требованию точке быть внутренней.

[Nemiroff]

oleg.k в сообщении #1424566 писал(а):

Да, то что надо. Определена на $\mathbb{R}$, вторая производная в нуле равна нулю и вместе с этим есть сколь угодно близкие к нулю точки, в которых она не дифференцируема, т.к. разрывна. Вобщем, "не следует", как я и думал. Спасибо. С первым предложением моего стартового поста разобрались

Вы можете взять $x^2$, а не $x^3$, а константу на точках вида $1/n$ опустить ниже нуля.