Равномерная непрерывность функции

[Lia]

oleg.k
Этот раздел не предназначен для пропаганды. Смените тон. В любом случае: если Вы не понимаете, что Вам отвечают, или если не хотите понимать.

[Brukvalub]

oleg.k в сообщении #1411317 писал(а):

Согласно определению Зорича, функция равномерно непрерывна "вся сразу". Иными словами, по Зоричу нельзя рассматривать "равномерную непрерывность функции $f$ на множестве $M \subset E$". Зачем тогда слова "на множестве $E \subset \mathbb{R}$" в определении? Можно ли их проигнорировать? Т.е. можно ли просто написать: "Функция $f: E\to \mathbb{R}$ называется равномерно непрерывной, если..."?

Зорич сначала сужает (если это необходимо) действие функции на подмножество ее области определения, а затем определяет равномерную непрерывность только для этой уже суженной функции. Правда, он считает, что всякий разумный человек это понимает, и дает определение равномерной непрерывности сразу для сужения, ведь когда он писАл свой учебник, еще не было троллей, меняющих свои ники и упорно делающих вид, что им непонятны простейшие действия с функциями. Вот он и не объяснил очевидные вещи.

[alcoholist]

oleg.k В определении у Зорича ясно написано: "Функция $f\colon E\to\mathbb{R}$ называется равномерно непрерывной на множестве $E\subset\mathbb{R}$, если..."
Разумеется после этого утверждение "Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она непрерывна в любой его точке" абсолютно верно.
Ну, невнимателен немного был demolishka, когда ответил "да" на ваше переиначивание определение Зорича.

[Brukvalub]

alcoholist в сообщении #1411351 писал(а):

Разумеется после этого утверждение "Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она непрерывна в любой его точке" абсолютно верно.

Обычно еще уточняют: "...то она непрерывна в любой его точке по этому множеству".

[Padawan]

Действительно, по-моему есть неоднозначность в употреблении выражения "функция $f$ непрерывна на множестве $M$". Так говорят и в том случае когда хотят сказать, что $f$ непрерывна в любой точке множества $M$ (по своей области определения), и когда хотят сказать, что сужение $f\mid_M$ непрерывно на $M$. Например, в одном смысле верно, что функция Дирихле непрерывна на множестве рац.чисел, а в другом не верно.

А в определении равномерной непрерывности на множестве все чётко, там точки $x',x''$ берутся из множества $M$, поэтому не важно, рассматриваем ли мы исходную функцию или её сужение на $M$.

[ewert]

У Зорича я вообще не нашёл ничего про равномерную непрерывность функции на подмножестве её области определения. Соответственно, и никаких противоречий (в этом месте) у него нет и в принципе быть не может.

Нужно ли отдельно определять непрерывность и равномерную непрерывность для сужения функции? -- Это совсем отдельный вопрос.

Определять просто непрерывность для сужения формально можно, но довольно бессмысленно. Никакой практической пользы от этого нет.

С равномерной непрерывностью всё с точностью до наоборот. Понятие равномерной непрерывности сужения абсолютно необходимо, поскольку типична как раз ситуация, когда функция сама по себе непрерывна не равномерно, а на каком-то подмножестве -- равномерно (теорема Кантора ровно об этом).

То, что Зорич забыл вставить это банальное дополнение про сужение -- это, конечно, методический дефект. Но несущественный.

[oleg.k]

Padawan в сообщении #1411359 писал(а):

Действительно, по-моему есть неоднозначность в употреблении выражения "функция $f$ непрерывна на множестве $M$".

Я считаю также.
Приведу фрагмент текста из статьи "Непрерывная функция" (Математическая энциклопедия 1977 г. под редакцией И.М.Виноградова)

Математическая энциклопедия писал(а):

Если функция $f: E \to \mathbb{R}$ непрерывна в каждой точке множества $E$, то она наз. непрерывной на множестве $E$. Если $x_0\in E' \subset E$ и функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, то сужение функции $f$ на множестве $E'$ также непрерывно при $x = x_0$. Обратное, вообще говоря, неверно. Напр., сужение Дирихле функции как на множестве рациональных, так и иррациональных точек непрерывно, а сама функция Дирихле разрывна во всех точках.

Мне не понятно, что здесь подразумевается.
1. Мы не можем говорить про "непрерывность функции $f: E \to \mathbb{R}$ на множестве $M \subset E, M\ne E$", т.к. в определении недвусмысленно показано, что область определения функции и множество, на котором она непрерывна должны совпадать.
2. Имеем функцию $f: E\to \mathbb{R}$. Функция $f$ непрерывна на множестве $M \subset E$ тогда и только тогда, когда эта функция $f$ (а не ее сужение $f|_M$ на $M$) непрерывна в каждой точке множества $M$.
3. Имеем функцию $f: E\to \mathbb{R}$. Функция $f$ непрерывна на множестве $M \subset E$ тогда и только тогда, когда сужение $f|_M$ функции $f$ на $M$ непрерывно в каждой точке множества $M$.


Я в таких ситуациях считаю, что автор сказал ровно то, что сказал, а именно в данном случае необходимо следовать трактовке из п.1. Придерживаясь такого понимания, я пришел к выводу, что Зорич не рассматривает равномерную непрерывность функции на произвольном подмножестве ее области определения. Поэтому в п.1. моего стартового сообщения я написал

oleg.k в сообщении #1411317 писал(а):

Согласно определению Зорича, функция равномерно непрерывна "вся сразу". Иными словами, по Зоричу нельзя рассматривать "равномерную непрерывность функции $f$ на множестве $M \subset E$".

На фоне этого я абсолютно согласен с каждым словом, которое написано в следующих двух цитатах.

alcoholist в сообщении #1411351 писал(а):

В определении у Зорича ясно написано: "Функция $f\colon E\to\mathbb{R}$ называется равномерно непрерывной на множестве $E\subset\mathbb{R}$, если..."
Разумеется после этого утверждение "Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она непрерывна в любой его точке" абсолютно верно.

ewert в сообщении #1411381 писал(а):

У Зорича я вообще не нашёл ничего про равномерную непрерывность функции на подмножестве её области определения. Соответственно, и никаких противоречий (в этом месте) у него нет и в принципе быть не может.

Я нигде не утверждал обратное. Мой вопрос заключался в том, что если мы примем такой подход к рассмотрению равномерной непрерывности функции, как у Зорича, то можно ли проигнорировать слова "на множестве $E \subset \mathbb{R}$" в его определении? Да, следуя Зоричу, нам придется признать, что функция $f(x) = \frac{1}{x}$, определенная на $\mathbb{R}\backslash 0$ не является равномерно непрерывной на отрезке $[1, 2]$, но это будет полностью согласовываться с его формулировкой теоремы Кантора. У Зорича противоречий нету.

Brukvalub в сообщении #1411349 писал(а):

Зорич сначала сужает (если это необходимо) действие функции на подмножество ее области определения, а затем определяет равномерную непрерывность только для этой уже суженной функции.

Ответьте пожалуйста на вопрос: Является ли функция $ f(x) = \frac{1}{x}$, определенная на $\mathbb{R}\backslash 0$, равномерно непрерывной на отрезке $[1, 2]$?

ewert в сообщении #1411381 писал(а):

С равномерной непрерывностью всё с точностью до наоборот. Понятие равномерной непрерывности сужения абсолютно необходимо, поскольку типична как раз ситуация, когда функция сама по себе непрерывна не равномерно, а на каком-то подмножестве -- равномерно (теорема Кантора ровно об этом).

Вы под "равномерной непрерывностью сужения" подразумеваете "равномерную непрерывность по множеству"?

[Brukvalub]

oleg.k в сообщении #1411427 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1411349

писал(а):
Зорич сначала сужает (если это необходимо) действие функции на подмножество ее области определения, а затем определяет равномерную непрерывность только для этой уже суженной функции. Ответьте пожалуйста на вопрос: Является ли функция $ f(x) = \frac{1}{x}$, определенная на $\mathbb{R}\backslash 0$, равномерно непрерывной на отрезке $[1, 2]$?

вы решили не ограничиваться разнузданным троллингом, теперь вы толкаете меня на нарушение правил форума.
В данном разделе запрещено решать за вопрошающих простейшие задачи. Так что сначала покажите свои попытки решения, вот тогда и поговорим.

[oleg.k]

Brukvalub в сообщении #1411432 писал(а):

Так что сначала покажите свои попытки решения, вот тогда и поговорим.

Никаких проблем.
По Зоричу ставить вопрос о равномерной непрерывности функции можно только на том множестве, на котором она определена. Заданный мною вопрос, следуя Зоричу, смысла не имеет, т.к. мы пытаемся рассмотреть равномерную непрерывность функции по множеству, отличному от ее области определения. Я задал вам этот вопрос, чтобы понять, с какой позиции вы трактуете определение равномерной непрерывности.

[Brukvalub]

oleg.k в сообщении #1411437 писал(а):

По Зоричу ставить вопрос о равномерной непрерывности функции можно только на том множестве, на котором она определена. Заданный мною вопрос, следуя Зоричу, смысла не имеет, т.к. мы пытаемся рассмотреть равномерную непрерывность функции по множеству, отличному от ее области определения.

Ну вот, теперь из вашего ответа видно, что вы и сам прекрасно понимаете материал, умеете делать правильные выводы из прочитанного в учебнике !
Одно непонятно, зачем вы тогда обращаетесь с такими вопросами, которые вам и так совершенно понятны, на форум? Просто поговорить?

[oleg.k]

Brukvalub в сообщении #1411446 писал(а):

Одно непонятно, зачем вы тогда обращаетесь с такими вопросами, которые вам и так совершенно понятны, на форум? Просто поговорить?

В том то и дело, что непонятны. Я не понимаю, зачем нужны эти искусственные ограничения на область применимости понятий непрерывности и равномерной непрерывности. ewert сказал лучше меня

ewert в сообщении #1411381 писал(а):

Понятие равномерной непрерывности сужения абсолютно необходимо, поскольку типична как раз ситуация, когда функция сама по себе непрерывна не равномерно, а на каком-то подмножестве -- равномерно (теорема Кантора ровно об этом).

Не эстетично это, когда на вопрос про функцию $ f(x) = \frac{1}{x}$ надо отвечать так, как надо по Зоричу. Зачем постоянно рассматривать цепочку "Функция - сужение функции - теорема кантора - продолжение функции". Надо с самого начала сформулировать нормальные определения непрерывности и равномерной непрерывности функции по множеству, чтобы все теоремы о глобальных свойствах непрерывных функций спокойно можно было бы применять к той функции, исследование которой проводится. Но у меня пока это не получилось. Ради этого я тут и пишу.

[Brukvalub]

oleg.k в сообщении #1411458 писал(а):

Надо с самого начала

Кому это надо? Все все прекрасно понимают и в рамках существующих определений. Если вы никак "ниасилите" то, что ежегодно осиливают десятки тысяч студентов, то вряд ли найдется тот, кто вам в угоду начнет перелицовывать определения. Так что тупик, придется вам самому мучиться, добывая пропитание, никто не хочет кормить тролля.

[oleg.k]

Brukvalub в сообщении #1411465 писал(а):

никто не хочет кормить тролля.

Чтобы не быть голословным, приведу конкретные определения и примеры, иллюстрирующие мой подход. Я пока не смог найти никаких грубых нарушений в той трактовке этих понятий, которую я сейчас предложу. Начну с определений.

Определение непрерывности функции на множестве писал(а):

Имеем функцию $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$. Функция $f$ непрерывна на множестве $M \subset E$ тогда и только тогда, когда эта функция $f$ (а не ее сужение $f|_M$ на $M$) непрерывна в каждой точке множества $M$.

Мне не очень понятно, почему неоднозначность в этом вопросе вообще появилась. Мы же говорим о непрерывности функции на множестве, а не о непрерывности ее сужения. К тому же я ни в одном источнике не видел, чтобы кто-то определял непрерывность функции на множестве с помощью ее сужения.

Теперь по поводу равномерной непрерывности. Начну с мотивировки этого понятия. Пусть нам дана некоторая функция $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$, непрерывная на некотором множестве $M \subset E$. Это значит, что для любого $\varepsilon > 0$ и для любой точки $x \in M$ можно подобрать такую $\delta$-окрестность точки $x$ (где $\delta$, вообще говоря, зависит как от $\varepsilon$, так и от $x$), образ которой при отображении $f$ будет лежать в $\varepsilon$-окрестности точки $f(x)$. Естественным образом возникает вопрос: можно ли, выбрав произвольный $\varepsilon > 0$, подобрать такую $\delta(\varepsilon)$-окрестность, которая "подошла бы" всем точкам $x \in M$, т.е. такую, что $\forall x \in M$ выполнялось бы $f(V_{\delta(\varepsilon)}(x)) \subset U_{\varepsilon}[f(x)]$. Очевидно, так можно сделать не всегда. Но иногда можно. И вот тогда, когда так сделать можно, мы говорим, что функция $f$ равномерно непрерывна на множестве $M$. Слово равномерно как раз и означает равномерно относительно (независимо от) $x \in M$. Естественность данной мотивировки и предопределила мой выбор следующего определения.

Определение равномерной непрерывности функции на множестве писал(а):

Дана функция $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$ и некоторое множество $M \subset E$. Функция $f$ называется равномерно непрерывной на множестве $M$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ можно указать единую для всех точек $x \in M$ $\delta(\varepsilon)$-окрестность такую, что $(\forall x \in M) f[V_{\delta(\varepsilon)}(x)] \subset U_\varepsilon [f(x)]$.

Данное определение равномерной непрерывности не эквивалентно определению Зорича. Причем неэквивалентность достаточно серьезная и касается не только области применимости определений. Существует вторая формулировка равномерной непрерывности (та самая, которую использует Зорич).

Зорич писал(а):

Определение 1. Функция $f: E\to \mathbb{R}$ называется равномерно непрерывной на множестве $E \subset \mathbb{R}$, если для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется число $\delta > 0$ такое, что для любых точек $x_1, x_2 \in E$ таких, что $|x_1 - x_2| < \delta$, выполнено $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$.

Утверждение Зорича применимо только в том случае, когда равномерную непрерывность рассматривают на том же самом множестве, на котором функция задана. Но раз мы отказались от этого требования, допуская рассмотрение равномерной непрерывности в том числе на собственных подмножествах области определения функции, то данное утверждение необходимо переформулировать.

Утверждение - аналог писал(а):

Функция $f: E\to \mathbb{R}$ называется равномерно непрерывной на множестве $M \subset E$, если для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется число $\delta > 0$ такое, что для любых точек $x_1, x_2 \in M$ таких, что $|x_1 - x_2| < \delta$, выполнено $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$.

Если мы рассматриваем равномерную непрерывность функции с точки зрения "моего" определения, то аналог утверждения Зорича будет следствием "моего" определения. Но они не будут эквивалентны. Из аналога мое определение не следует. Пример - функция Дирихле. С точки зрения "моего" определения, функция Дирихле не является равномерно непрерывной на множестве $\mathbb{Q}$, но тем не менее содержательной части утверждения-аналога она удовлетворяет. По сути, неэквивалентность этих формулировок ("моего" определения и утверждения аналога) это та жертва, на которую мы пошли, чтобы сформулировать определение равномерной непрерывности функции на множестве, которое может отличаться от ее области определения. И это только к лучшему (см. ниже).

Теперь про связь непрерывности и равномерной непрерывности.

Связь писал(а):

Если функция $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$ равномерно непрерывна на множестве $M \subset E$, то она непрерывна на этом множестве $M$.

Это очень ценное утверждение, которое мне удалось сохранить. В этом месте отчетливо видно, почему потеря эквивалентности моего утверждения и утверждения аналога только к лучшему. Если бы мы в качестве определения равномерной непрерывности функции по множеству приняли бы утверждение-аналог, то мы бы потеряли эту ценную теорему. Функция Дирихле, как я уже писал, удовлетворят содержательной части утверждения-аналога, поэтому, в случае его принятия в качестве определения, мы бы получили, что функция Дирихле равномерно непрерывна на $\mathbb{Q}$ и вместе с тем разрывна в каждой рациональной точке. Я думаю этот факт стоит того, чтобы его потерять.

"Мое" определение полностью согласуется с теоремой Кантора.

Теорема Кантора писал(а):

Если функция $f: \mathbb{R} \supset E\to \mathbb{R}$ непрерывна на отрезке $[a, b] \subset E$, то она равномерно непрерывна на этом отрезке $[a, b]$.

И напоследок про область применимости "моего" определения. Рассмотрим ту самую функцию $ f(x) = \frac{1}{x}$, определенную на $\mathbb{R}\backslash 0$ и которая по Зоричу не является равномерно непрерывной на отрезке $[1, 2]$. По "моему" определению никакие сужения-продолжения рассматривать не надо. Берем функцию $f$ и смело утверждаем, что $f$ (а не какое-то ее сужение) равномерно непрерывна на $[1, 2]$.

На данный момент ничего лучше я не придумал. Моей целью было убрать хотя бы часть костылей из некоторых определений и теорем, связанных с непрерывностью и равномерной непрерывностью, в учебнике Зорича. Я подозреваю, что в чем-то где-то должна быть ошибка, которая ломает содержание всего моего поста, и я бы хотел, чтобы вы помогли мне ее найти. Если же ее нету, то я бы хотел обсудить преимущества и недостатки такого подхода к трактовке понятий непрерывности и равномерной непрерывности. Буду признателен за любые замечания и конструктивную критику.

[DeBill]

Padawan в сообщении #1411359 писал(а):

есть неоднозначность в употреблении выражения "функция $f$ непрерывна на множестве $M$".

Неоднозначность есть, но не у Зорича (у него это понятие определяется только для всей области определения).
Я, например, когда это место студентам рассказываю, специально тыкаю ("не путайте с "непрерывна во всех точках множества $M$" в случае, когда область определения - ширше"; и предлагаю для этого случая - буде кому-нить захочется термин новый ввести (их в матане первого семестра всего то пара сотен ) использовать термин "непрерывна в точках множества $M$". Ну, а потом типа так этим термином и не пользуюсь - за ненадобностью.
То же относится и к равномерной непрерывности: у Зорича - только для всей области определения. Переделанное ТС определение тоже можно тогда назвать "равномерной непрерывностью в точках множества" .
Ну и прекрасно - будет у нас два новых определения. И чё? По жизни нужны то как раз Зоричевские...
Хотя - про ненадобность и нужны как раз - это я видимо хватил через край. Правильнее сказать - их вполне хватает, так зачем нам лишние сущности? Но, и правда, ведь многократно используются рассуждения типа "ф-я непрерывна во всех точках отрезка, значит , ее сужение непрерывно на отрезке, значит работает теорема Кантора, значит (сужение) р-но непрерывно на отрезке ". Потом это надоедает, и текст редуцируется до "непрерывна на отрезке - значит равномерно непрерывна на нем" где первая часть - уже в смысле ТС, а вторая (неявно) - в смысле Зорича... Так что - скрипя серсем - приходится признать, что ТС таки в чем то прав (не насчет костылей, нет ) : с такими определениями иногда работать удобнее.

(Оффтоп)

Ну вот буду в этом семестре читать матан - к Теореме Кантора дам студентам Упражнение для самостоятельной работы: для ТС- определений доказать теорему Кантора

[Otta]

DeBill в сообщении #1411508 писал(а):

к Теореме Кантора дам студентам Упражнение для самостоятельной работы: для ТС- определений доказать теорему Кантора

Они не поломаются? По тому определению не всякая функция равномерно непрерывна на одноточечном множестве. Кантор бы расстроился.