Можно ли распилить их на 39 частей?

[Ktina]

Даны 12 палочек одинаковой длины. Можно ли распилить их на 39 частей, из которых затем удастся составить 13 равных прямоугольных треугольников (должны быть использованы все получившиеся части)?

[Shadow]

Ktina, я не совсем понимаю что спрашиваете. Существует ли прямоугольный треугольник с периметром $\dfrac{12}{13}$? Да, существуют много всяких - и с рациональными сторонами, и с иррациональными и вообще...
Уточните пожалуйста что можно делать, что нельзя.

-- 28.10.2019, 10:26 --

Кажется дошло...11 распилок уже есть...как бы

[gris]

я понял задачу задом наперёд: имеется $13$ равных прямоугольных треугольников с периметром каждого $12$. из $39$ неломаемых отрезков нужно сложить $12$ палочек длиной $13$ каждая.
пример: из сторон $13$ треугольников $(3,4,5)$ складываем $a$ палочек вида $(5+5+3)$, $b$ палочек вида $(3+3+3+4)$, $c$ палочек вида $(4+4+5)$. больше видов нет. к сожалению, соответствующая система уравнений не имеет целочисленных решений
можно попробовать другие треугольники.

[wrest]

Пусть длина каждой палочки равна 13. Тогда периметр каждого треугольника равен 12.
По счастливому стечению обстоятельств, $3^2+4^2=5^2$
Можно ли составить такие треугольники?

Чтобы минимизировать количество частей, надо постараться чтобы каждый разрез давал только готовые стороны.
Разложений числа 13 в сумму слагаемых каждое из которых больше 2 но меньше 6, всего три:
$553$
$544$
$4333$
Пусть палочек с соответствующими распилами соответственно $x:553,y:544,z:4333$
Тогда пятёрок должно быть $2x+y=13$; четверок должно быть $2y+z=13$ ну и троек должно быть $x+3z=13$
Складываем эти уравнения, и как раз выходит, что всего частей $3x+3y+4z=39$ - как нам и надо. Останется проверить что всего исходных палочек $x+y+z=12$
Получаем $x=4;y=5;z=3$

-- 28.10.2019, 13:10 --

gris в сообщении #1422741 писал(а):

к сожалению, соответствующая система уравнений не имеет целочисленных решений

Оказывается, имеет :)

-- 28.10.2019, 13:30 --

gris в сообщении #1422741 писал(а):

можно попробовать другие треугольники.

Тут, видимо, из-за того что сторон у 13 треугольников всего 39, и частей тоже должно быть 39, то есть каждая сторона должна быть ровно одной частью, по-другому не получится.
Вот если у треугольников какие-то стороны можно делать общими, тогда какие-то стороны могли бы состоять из 2 или более частей, то варианты, кмк, были бы возможны.

[gris]

да, с икс-игрек-зед получается натуральное (с нулём) решение. А с а-бе-це у меня не получилось почему-то:(
Вообще, если искать целочисленные решения, то можно принимать длину палочки за $13n$ и вполне можно пробовать пифагоровы тройки с периметром $12n$.
Но я ожидал, что решение вылезет как-нибудь по непрерывности и даже иррациональное. Ну типа через построение инвариантного по задаче непрерывного семейства треугольников от тупого до острого.

[wrest]

gris в сообщении #1422760 писал(а):

Вообще, если искать целочисленные решения, то можно принимать длину палочки за $13n$ и вполне можно пробовать пифагоровы тройки с периметром $12n$.

Не очень ясно, поясните? Если любой рациональный треугольник умножить на наименьшее общее кратное знаменателей сторон и чисел 12 и 13, то периметр начнет делиться и на 12 по изначальному количеству палочек и на 13, по требуемому периметру одного треугольника.