задача на оптимизацию

[kneejerk]

Условие задачи:
Для рытья котлована объемом $1380 m^3$ строители получили три экскаватора. Мощный экскаватор производительностью $22,5 m^3$/ч расходует 10 л/ч бензина. Аналогичные характеристики среднего экскаватора - $10 m^3$/ч и 4 л/ч, малого – $5 m^3$/ч и 3 л/ч. Экскаваторы могут работать все одновременно, не мешая друг другу. Запас бензина у строителей ограничен и равен 580 литров. Если рыть котлован только малым экскаватором, то бензина заведомо хватить, но это будет очень долго.
Каким образом следует использовать имеющуюся технику, чтобы выполнить работу как можно быстрее?

Я составил план задачи:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 22,5 x_1+10x_2+5x_3=1380\\ 10 x_1+4 x_2+3 x_3\leqslant580\\ \end{array} \right.$$

и функция $ f(x) = x_1 + x_2 + x_3 \to \text{min}$
Корректен ли этот план? Смущает равенство в первом ограничении в системе

[Pphantom]

Вы тем самым можете исключить одну из переменных (например, $x_3$) из неравенства и минимизируемой функции. Получившееся, наверное, престанет вас смущать.

[Евгений Машеров]

Вы уверены, что минимизировать надо суммарное время работы экскаваторов, а не время от начала до окончания работы?

[kneejerk]

Евгений Машеров в сообщении #1422004 писал(а):

Вы уверены, что минимизировать надо суммарное время работы экскаваторов, а не время от начала до окончания работы?

Не понял... В чем разница в данном контексте?

[EUgeneUS]

kneejerk в сообщении #1422009 писал(а):

Не понял...

kneejerk в сообщении #1421996 писал(а):

Экскаваторы могут работать все одновременно, не мешая друг другу

[kneejerk]

EUgeneUS
Возможно.... но тогда не совсем понятно как это повлияет на условия...

[Pphantom]

kneejerk в сообщении #1422012 писал(а):

Возможно.... но тогда не совсем понятно как это повлияет на условия...

Тогда нужно минимизировать максимум величин $x_i$ (а не их сумму).

[Евгений Машеров]

Ну, в порядке примера. Есть три работника, производительностью 3, 2 и 1 кубометров в час. Надо выкопать яму в 6 кубометров (одновременная работа возможна). Если минимизируем суммарное время работы - надо нанимать только первого, он выкопает за два часа. Если время от начала до окончания работы - надо всех троих, тогда яма выкопается за час, но затраты составят три трудочаса.

[EUgeneUS]

kneejerk в сообщении #1422012 писал(а):

но тогда не совсем понятно как это повлияет на условия...

На условия - никак. Это и есть часть условий.
А на решение так:
1. Как сказали выше, надо искать минимакс, а не минимум суммы.
2. Путем простых рассуждений второе неравенство тоже превращется в шорты равенство.

[kneejerk]

EUgeneUS писал(а):

На условия - никак. Это и есть часть условий.

Я имел в виду, что не совсем понятно как это повлияет на составленную систему условий-ограничений и функцию, как ее переделать в верную

[EUgeneUS]

Систему условий-ограничений пока можно оставить как есть.
А целевую функцию надо переписать. Как переписать - сказали выше.

[kneejerk]

EUgeneUS
Извините, но я не понял как
да... я не очень умный

[EUgeneUS]

Вот же

Pphantom в сообщении #1422013 писал(а):

нужно минимизировать максимум величин $x_i$ (а не их сумму).

[kneejerk]

EUgeneUS
это да, но я не понимаю, как это повлияет на функцию

f(x) $ = \max (x_1, x_2, x_3) \to \min $ так?

[Евгений Машеров]

По смыслу правильно, но в задачах линейного программирования есть линейные неравенства, а функции "максимум" нет. Надо максимум выразить через неравенства.