свойство коэффициентов уравнения Фоккера-Планка

[Zo]

Здравствуйте, в книжке в книжке на с 196 есть такое упражнение:

Пусть плотность $P(y, t | y_0, t_0)$ - решение уравнения Фоккера-Планка $\frac{\partial P(y,t)}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial y}\left (A(y)P \right)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2}\left(B(y)P{\right)$ Возьмем $t=t_0+\triangle t$ и вычислим моменты величины $y-y_0=\triangle y$ при малых $\triangle t$. Показать, что при $\triangle t \to 0$:

$$\frac{\triangle y}{\triangle t}=A(y_0); \frac{E[(\triangle y)^2]}{\triangle t}=B(y_0); \frac{E[(\triangle y)^{\nu}]}{\triangle t}=0, \nu\ge 3$$

Никак не могу это получить - подскажите, пожалуйста, с чего начать надо? Спасибо за помощь.

[zoo]

Zo писал(а):

Здравствуйте, в книжке в книжке на с 196 есть такое упражнение:

Пусть плотность $P(y, t | y_0, t_0)$ - решение уравнения Фоккера-Планка $\frac{\partial P(y,t)}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial y}\left (A(y)P \right)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial y^2}\left(B(y)P{\right)$ Возьмем $t=t_0+\triangle t$ и вычислим моменты величины $y-y_0=\triangle y$ при малых $\triangle t$. Показать, что при $\triangle t \to 0$:

$$\frac{\triangle y}{\triangle t}=A(y_0); \frac{E[(\triangle y)^2]}{\triangle t}=B(y_0); \frac{E[(\triangle y)^{\nu}]}{\triangle t}=0, \nu\ge 3$$

Никак не могу это получить - подскажите, пожалуйста, с чего начать надо? Спасибо за помощь.

казалось бы перед нами параболическое уравнение, но тогда $y$ и $t$ это независимые переменные пространственные и эволюционная соответственно. Запись $\frac{\triangle y}{\triangle t}$ предпологает, что $y$ зависит от $t$. Странно.
Наверное Вам надо идти на http://scientific.ru/
Там такую "математику" понимают.

[Zo]

zoo, здесь $Y(t,\omega)$ - это случайный процесс, $E[\cdot]$ -это математическое ожидание. Я пробовал уравнение умножать на $\triangle y$ - и пытаться преобразовывать, но путного ничего не получилось у меня

[zoo]

Zo писал(а):

zoo, здесь $Y(t,\omega)$ - это случайный процесс

может быть есть уравнения, которые связывают $Y$ и $P$?

[Zo]

Скажем, так : $P(y,t)$ - это "вероятность" (слово "вероятность" в кавычках, потому что P() - это плотность), что случайный процесс $Y(t)$ в момент времени $t$ "принимает" значение $y$.

[zoo]

Zo писал(а):

Скажем, так : $P(y,t)$ - это "вероятность" (слово "вероятность" в кавычках, потому что P() - это плотность), что случайный процесс $Y(t)$ в момент времени $t$ "принимает" значение $y$.

никаких уравнений кроме написанных на $Y$ нет?

[Zo]

нет

[zoo]

Zo писал(а):

Скажем, так : $P(y,t)$ - это "вероятность" (слово "вероятность" в кавычках, потому что P() - это плотность), что случайный процесс $Y(t)$ в момент времени $t$ "принимает" значение $y$.

вот эта фраза как нибудь в виде формулы может быть записана?

[Zo]

zoo в сообщении #141871 писал(а):

Zo писал(а):
Скажем, так : $P(y,t)$ - это "вероятность" (слово "вероятность" в кавычках, потому что P() - это плотность), что случайный процесс $Y(t)$ в момент времени $t$ "принимает" значение $y$.

вот эта фраза как нибудь в виде формулы может быть записана?

Я сейчас это напишу, как в книжке, на которую я ссылаюсь это записано, но, Вам, zoo, эта запись не понравится

$$P(y,t)=\int\delta \{y-Y_x(t)\}P_X(x)dx$$

($\delta $ - дельта-функция; $Y_X(t)$ - это случайный процесс, $Y_x(t)$ - его реализация - значок $x$ убран в верхнем посте - так обычно делается, $X$ - стохастическая переменная ($P_X(x)$ - ее плотность). Нормировка на единицу для плотности как обычно: $\int P(y, t)dy=1$

[zoo]

Zo писал(а):

$$P(y,t)=\int\delta \{y-Y_x(t)\}P_X(x)dx$ -

вот сейчас очень неформальную вещь скажу: не продифференцировать ли это равенство по $t$ выразив потом $P_t$ из уравнения Ф-П. Тогда появится "$\Delta y/\Delta t$"

[Zo]

zoo в сообщении #141917 писал(а):

Zo писал(а):


$$P(y,t)=\int\delta \{y-Y_x(t)\}P_X(x)dx$ -

вот сейчас очень неформальную вещь скажу: не продифференцировать ли это равенство по $t$ выразив потом $P_t$ из уравнения Ф-П. Тогда появится "$\Delta y/\Delta t$"

подозреваю, что это не поможет, хотя простите мою безграмотность математическую -но производная дельта функции - это что будет?

[zoo]

Zo писал(а):

zoo в сообщении #141917 писал(а):

Zo писал(а):


$$P(y,t)=\int\delta \{y-Y_x(t)\}P_X(x)dx$ -

вот сейчас очень неформальную вещь скажу: не продифференцировать ли это равенство по $t$ выразив потом $P_t$ из уравнения Ф-П. Тогда появится "$\Delta y/\Delta t$"

подозреваю, что это не поможет,

тогда я сливаю воду

Zo писал(а):

хотя простите мою безграмотность математическую -но производная дельта функции - это что будет?

ничего необычного: $(\delta',\phi)=-\phi'(0)$

[Zo]

zoo в сообщении #141934 писал(а):

ничего необычного: $(\delta',\phi)=-\phi'(0)$

а - понял - (забыл уже эти обобщенные производные) не - не поможет

[Gafield]

Хы... Уравнение Фоккера-Планка как раз выводится из того, что требуется доказать. Судя по обозначениям, $P(y, t | y_0, t_0)$ не произвольное решение, а переходная плотность вероятности. Насколько я понимаю, надо найти

$$ B(y)=\lim_{t\to t_0+0}\frac d{dt}\int_R (x-y)P(x,t,y,t_0)\, dx, $$

$$ A(y)=\lim_{t\to t_0+0}\frac d{dt}\int_R (x-y)^2 P(x,t,y,t_0)\, dx, $$

...
Несложно, если вспомнить, что при $t\to t_0+0$ $P(y, t | y_0, t_0)$ стремится к $\delta(x-y)$.

[Zo]

Gafield, чуть-чуть напутали с обозначениями - надо доказать это:

$$ A(y_0)=\lim_{t\to t_0+0}\frac d{dt} (y-y_0)$$

и что

$$ B(y_0)=\lim_{t\to t_0+0}\frac d{dt}\int_R (y-y_0)^2 P(y,t | y_0,t_0)\, dy, $$

вобщем-то все равно не понимаю, как это доказать даже с учетом того, что $P(y,t | y_0,t_0) \to \delta(y-y_0)$ при $t\to t_0$
Gafield, Вы не могли бы хоть начало выкладок для коэф-та $A(y_0)$ показать?