2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вопрос про один предел
Сообщение19.09.2019, 17:17 
Рассмотрим предел:
$\lim\limits_{n \to \infty}^{}\frac{n^\frac{n}{k}}{n!}$
При $k = 1 $ это плюс бесконечность. При $k = 2$ он равен нулю. Возникли такие вопросы:
- существует ли k при котором этот предел конечен и отличен от нуля?
- если "да", то какое это k и чему равен предел?

У меня ощущение, что это должно быть что-то стандартное и давно изученное, но решить не смог.

 
 
 
 Re: Вопрос про один предел
Сообщение19.09.2019, 17:24 
eprivalo в сообщении #1415988 писал(а):
При $k = 1 $ это плюс бесконечность. При $k = 2$ он равен нулю.

Попытки решения хотелось бы видеть хотя бы для этих $k$.

 
 
 
 Re: Вопрос про один предел
Сообщение19.09.2019, 17:31 
eprivalo в сообщении #1415988 писал(а):
У меня ощущение, что это должно быть что-то стандартное и давно изученное

Вполне возможно. Но почему бы тупо не взять логарифм от этой дроби?...

Знаменатель породит сумму логарифмов, т.е. приблизительно интеграл от логарифма, т.е. примерно $n\ln n$.

По-моему, после этого вопрос насчёт $k$ автоматически снимается.

 
 
 
 Re: Вопрос про один предел
Сообщение19.09.2019, 17:41 
Lia в сообщении #1415993 писал(а):
eprivalo в сообщении #1415988 писал(а):
При $k = 1 $ это плюс бесконечность. При $k = 2$ он равен нулю.

Попытки решения хотелось бы видеть хотя бы для этих $k$.

При k=1 очевидно.
При k=2 переписываем в виде $\frac{(2n)^n}{(2n)!}$, доказываем, что $\frac{2n}{(k+1)(2n-k)}\leqslant1$, при этом $\frac{2n}{n(n+1)}\to0$

-- 19.09.2019, 17:42 --

ewert в сообщении #1415998 писал(а):
eprivalo в сообщении #1415988 писал(а):
У меня ощущение, что это должно быть что-то стандартное и давно изученное

Вполне возможно. Но почему бы тупо не взять логарифм от этой дроби?...

Знаменатель породит сумму логарифмов, т.е. приблизительно интеграл от логарифма, т.е. примерно $n\ln n$.

По-моему, после этого вопрос насчёт $k$ автоматически снимается.


Спасибо, попробую

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group