Изгиб плоской молекулы

[madschumacher]

Добрый день.

Прошу прощения за беспокойство.
У меня возникла задача, с которой я никак не разберусь, потому что не хватает знаний. Есть молекула, которая в целом плоская (но есть атомы, которые лежат вне плоскости). Эта молекула может гнуться туда-сюда как-то так:

и хотелось бы эти изгибы как-то параметризовать. Банальное отображение на плоскость второго порядка, так что координаты $(x,y,0) \rightarrow (x,y,z)$, где $z=k_x x^2 + k_y y^2 + k_{xy} xy$ не канают, поскольку за счёт этого оооочень искажаются межатомные расстояния (расстояния между избранными точками), что совершенно не соответствует физике процесса.
У меня была идея сделать отображение итерационным процессом типа такого (можно не смотреть особо, это явно бред):

но не очень понятно, как делать искажение в других направлениях.

Поэтому прошу помочь найти такое двухпараметрическое (искажение из-за симметрии может идти только по 2м фиксированным направлениям) преобразование координат, чтобы локальные расстояния между точками не слишком сильно ползли. Понимаю, что для всяких геометров это должно быть чем-то халтурным, но у меня тут за плечами только курс по аналитической геометрии, который был оооочень давно.

Спасибо за понимание.

[worm2]

Насколько я помню, возможен только один вариант, который на первом рисунке изображён по центру (сверху и снизу). Т.е. обязательно будет какая-то плоскость, проекция на которую изогнутой поверхности есть кривая (меры нуль). Иначе гауссова кривизна в какой-то точке будет ненулевой, что означает изменение внутренних расстояний (по поверхности). Т.е. никаких "сёдел" не может быть.
Не знаю, как красиво сказать
Хотя, возможно, я вообще неправильно понял задачу. В трёхмерном пространстве, куда вложена поверхность, всё равно расстояния будут меняться, за исключением тривиального случая, когда плоскость движется как твёрдое тело и не изгибается вообще.

[madschumacher]

worm2 в сообщении #1408962 писал(а):

В трёхмерном пространстве, куда вложена поверхность, всё равно расстояния будут меняться, за исключением тривиального случая, когда плоскость движется как твёрдое тело и не изгибается вообще.

Не, естественно, расстояния будут меняться, я это понимаю, просто чтобы они менялись как можно меньше.

[DeBill]

madschumacher в сообщении #1408958 писал(а):

где $z=k_x x^2 + k_y y^2 + k_{xy} xy$ не канают, поскольку за счёт этого оооочень искажаются межатомные расстояния

Но правая картинка - именно такая. (типа, $k_x=1, k_y=-1, k_{xy}=0$. Или: $k_x=k_y=0, k_{xy}=17$)
Более того, полное отсутствие искажений возможно лишь на средних картинках (как worm2 и указал): ну, в самом деле, возьмите листок бумаги, и повертите его руками, не насилуя - вот такие поверхности без искажений токо и можно получить.
Так что же Вам надо? Полное отсутствие искажений (расстояний), или кака-то их минимальность? Если - второе, то, формально, задачу моно сформулировать так: У какой поверхности некое "обчее" искажение минимально? Ну, ясно - у плоской.
Но это неинтересно, так что давайте потребуем дополнительно: край поверхности принудительно изогнут заданным образом; что будет с поверхностью? А вот в таком виде задача - хороша, и хорошо известна. Например, если мерой "локального" искажения в точке считать квадрат градиента (эта хрень имеет смысл потенциальной энергии изогнутой пластины), а "глобальной " мерой искажения считать интеграл по поверхности от "локальной" (то бишь, полную энергию), то искомая поверхность есть классическая "мыльная пленка" (график гармонической функции $z=z(x,y), \Delta z=0$, Дельта - оператор Лапласа). Это соответствует картинке справа. Но - не соответствует двум средним картинкам: у мыльной пленки, натянутой с таким граничным контуром, будет прогиб посередке - поэкспериментируйте, отняв нужный прибор у ребенков).
Так что полного счастя (включающего все три картинки) не получается...

-- 06.08.2019, 21:00 --

Да, по поводу вывода уравнения минимальной поверхности. Это делают так: считают поверхность состоящей из точек, соединенных пружинками. Искажение поверхности приводит к натяжению пружинок. Уравнение ищут исходя из минимальности суммарной потенциальной энергии натянутых пружинок. Это похоже на Ваш случай?

[Утундрий]

madschumacher
Откуда, собственно, следует, что "изогнутая" молекула будет лежать на "хорошей" поверхности? Может её "пилой" разнесёт.

[DeBill]

madschumacher
Двапараметрическое семейство гармонических функций - легко: $z=a(x^2-y^2) +bxy$

[пианист]

Взять мыльную плёнку, натянутую на плоский контур, на плёнку положить молекулу, а потом контур изогнуть, и чтобы атомы молекулы при этом с плёнки не уходили и по плёнке не скользили. Как-то так?

[madschumacher]

DeBill в сообщении #1408971 писал(а):

Это похоже на Ваш случай?

Да, это тот вариант, который я не хочу реализовать, т.к. в таком случае придётся много чего другого делать.

DeBill в сообщении #1408971 писал(а):

Но правая картинка - именно такая.

Ну изобразил как умею. Суть в том, что кривизна изгибов в разных направлениях может быть разная.

Утундрий в сообщении #1408974 писал(а):

Может её "пилой" разнесёт.

По условию задачи не разнесет. Это одно из колебаний молекулы, поэтому при таких искажениях не будут рваться связи.

пианист в сообщении #1408987 писал(а):

Как-то так?

Да, очень похоже на то, что хочется. Ну или с изгибами листа бумаги (с изломами, которые будут убираться, как на мыльной плёнке).
Это можно как-то описать в человеческих терминах?

[DeBill]

madschumacher в сообщении #1408993 писал(а):

DeBill в сообщении #1408971

писал(а):
Но правая картинка - именно такая.
Ну изобразил как умею. Суть в том, что кривизна изгибов в разных направлениях может быть разная.

Ну, я имел в виду, что она как раз такая - квадратичная. А это Вам и не нравилось - в смысле оооочень.

[B@R5uk]

Вообще, я думаю, что молекула может гнуться вообще как угодно, в том числе и по седлу. Различие в том, что некоторые "степени свободы изгиба" имеют высокую жёсткость (читай: высокую энергию нулевых колебаний/шаг энергии возбуждения) и поэтому при "низких" температурах практически не возбуждаются. Какие именно это изгибы — это надо считать, но так на мой ненамётанный глаз, седло, цилиндр или параболоид как поверхности искажения плоскости ничем друг перед другом не выделяются. Разве только суперпозиция двух перпендикулярных друг другу цилиндрических искривлений при одном знаке даёт параболоид, а при другом — гиперболоид/седло.

Малые изгибы я бы параметризовал так:

$$z=\alpha x^2+\beta xy+\gamma y^2$$

При $\alpha\ne 0$ — цилиндр вдоль оси Y.
При $\beta\ne 0$ — седло вдоль диагоналей.
При $\gamma\ne 0$ — цилиндр вдоль оси X.
При $\alpha\gamma<0$ — седло вдоль координатный осей.
При $\alpha\gamma>0$ — параболоид.

А вообще, когда молекула гнётся, то её связи по идее должны оставаться неизменной длины (на практике энергия нулевых колебаний вдоль связи гигантская по сравнению с изгибом). Поэтому смещение вдоль оси Z приведёт к тому, что остальные координаты атомов тоже поплывут (так чтобы длины связей остались приблизительно равны). Это в свою очередь может привести к изменению углов между связями, при попытке "впихнуть" молекулу в "кривую плоскость". Именно отсюда и будут расти ноги различных упругостей молекулы по отношению к различным деформациям.

В связи со всем этим у меня к топикстартеру вопрос. А зачем вам это нужно и есть ли у вас какой-нибудь подход к нахождению энергий изгиба связей?

[madschumacher]

B@R5uk в сообщении #1409001 писал(а):

Малые изгибы я бы параметризовал так

Я же написал, что так я уже делал, и это не подходит. Короче, преобразование должно как-то менять и $(x, y)$, т.к. иначе рвутся связи.

B@R5uk в сообщении #1409001 писал(а):

А вообще, когда молекула гнётся, то её связи по идее должны оставаться неизменной длины.

Об этом я тоже писал, и сказал, что некие деформации все ж допустимы, главное чтоб были меньше простого отображения на поверхность второго порядка, а накладывать условия равенства всех связей тоже не хочется, т.к. это нужно будет численно отдельно решать.

DeBill в сообщении #1408999 писал(а):

Ну, я имел в виду, что она как раз такая - квадратичная.

Да я, в принципе, и не квадратную согласен, если ещё $(x, y) $ корректировать.

[B@R5uk]

madschumacher в сообщении #1409006 писал(а):

и это не подходит

Но это именно то, что вам нужно! Можно взять другой базис искривлений, но его компоненты будут лишь суперпозициями предложенного. То, что у вас не получилось, означает, что вы просто не правильно делали. Я же написал: нужно пересчитывать координаты иксов и игреков всех атомов. Это можно сделать только ручками на бумаге, просто потому, что составлять и решать систему уравнений на эти координаты будет та ещё морока (даже численно). Там проблема с недоопределённостью системы: тяжело формализовать условие "правильных шестиугольников", особенно когда они погнулись и стали неправильными.

[madschumacher]

B@R5uk в сообщении #1409008 писал(а):

Я же написал: нужно пересчитывать координаты иксов и игреков других атомов.

А как конкретно? Да, я не пересчитывал, поскольку не понимаю, как.
Поэтому и спрашиваю тут, может есть какие-то известные преобразования.

[B@R5uk]

madschumacher, надо думать. У вас только одна молекула, которая изображена на рисунке?

[madschumacher]

B@R5uk в сообщении #1409010 писал(а):

У вас только одна молекула, которая изображена на рисунке?

Нет, не одна, и те, что интересны, существенно больше размером и не состоят из правильных шестиугольников.