Примеры сигма-алгебры из учебника Черновой

[--mS--]

onami в сообщении #1394392 писал(а):

Для конечного множества понятие алгебры и сигма-алгебры совпадает, так что вопрос снят.

Разве вопрос был не в том, почему совпадает понятие алгебры и сигма-алгебры для конечного множества?

[gris]

Мне показалось, что ТС так и не получил разъяснения о счётном наборе подмножеств. В Учебнике в определении сигма-алгебры очень аккуратно говорится о последовательности подмножеств, то есть как бы "множестве с повторяющимися элементами". Эквивалентное понятие набора используется при доказательстве свойства 3 сигма-алгебр, когда строится набор подмножеств, где одно подмножество повторяется бесконечное число раз. Не для всех понятно, почему при объединении таких наборов получаются множества в обыкновенном понимании и даже конечные. Даже возникают вопросы: можно ли в термин "счётное" включать и "конечное"? Разумеется, эти трудности возникают, если слишком уж формально-строго подходить к самостоятельному изучению Учебника, а на лекциях и семинарах подобные штуки разъясняются на ходу.

Согласен с последующим мнением arseniiv <см.> Щепетильность способна перегружать и учебники, и учеников.
Я бы на придирчивый вопрос "почему" ответил бы рассуждением об эквивалентности результата объединения наборов и обычных множеств. Можно попробовать рассуждение "от противного", которое иногда понятнее прямого.
Ещё раз скажу, что я считаю упомянутый Учебник одним из лучших, а ТС умным, но чересчур дотошным. Впрочем, это очень хорошее объединение

[arseniiv]

А тут можно сослаться на что-то кроме аксиомы объединения? (Что скорее всего будет слишком низкоуровневым для такого обсуждения.)

[--mS--]

gris в сообщении #1394414 писал(а):

Мне показалось, что ТС так и не получил разъяснения о счётном наборе подмножеств.

Пока что мне кажется, что ТС не понимает совершенно базовых вещей. И никаких глубоких вопросов, которые Вы хотите увидеть, он не задавал.

[onami]

arseniiv в сообщении #1394398 писал(а):

1, 2 верно, а в 3 перечислены не все.

3. Еще $\{\{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$

--mS-- в сообщении #1394404 писал(а):

Разве вопрос был не в том, почему совпадает понятие алгебры и сигма-алгебры для конечного множества?

Это я уже понял почему.

[--mS--]

onami в сообщении #1394477 писал(а):

Это я уже понял почему.

А, ну тогда молодец.

[gris]

Я всё же немного ещё постою на краю. Мы знаем, что любая сигма-алгебра является алгеброй (событий). Эквивалентность этих понятий на конечном множестве означает, что на конечном множестве любая алгебра является сигма-алгеброй. При этом в качестве поясняющих примеров рассматриваются множества всех подмножеств. Все они конечны и построение бесконечного знакомого контрпримера не проходит. Нельзя получить бесконечное подмножество.
Но если взять в качестве алгебры подходящее множество не всех подмножеств? Кстати, не все новички сходу построят такой пример. Нельзя ли с помощью бесконечных наборов получить чудесным образом подмножество, не входящее в алгебру? Я могу переделать фразу из учебника: 34% новичков в ТВ верят в то, что бесконечности могут творить чудеса. Тем более, что им это только что продемонстрировали.
Разумеется, почти очевидно, что нельзя. Беда в том, что многие не понимают необходимости сказать эти слова.
Или я совсем всё перепутал? Тогда ой.

[Connector]

onami в сообщении #1394477 писал(а):

arseniiv в сообщении #1394398 писал(а):

1, 2 верно, а в 3 перечислены не все.

3. Еще $\{\{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$

По-моему, все равно не все.

[--mS--]

Самый первый же пример, который просили разобрать ТС, был направлен на то, чтобы объяснить, что если алгебра содержит лишь конечное число множеств, то слагаемые в бесконечном объединении поневоле повторяются, и все бесконечные объединения оказываются конечными. Если разжевывать в книжках ещё и такое, то читателю вообще ничего делать не остаётся, только рот открыть и вкушать.

[arseniiv]

Connector в сообщении #1394508 писал(а):

По-моему, все равно не все.

Да, всего должно быть 16, а пока лишь 7.

[Connector]

arseniiv в сообщении #1394528 писал(а):

Connector в сообщении #1394508 писал(а):

По-моему, все равно не все.

Да, всего должно быть 16, а пока лишь 7.

Почему $16$ , а не $15$ ? Пустое множество не в счёт...

[arseniiv]

Вот из-за таких людей мосты падают и самолёты рушатся. В условии задачи никто его не запрещал.

[Connector]

arseniiv, это Вы про меня? В пункте 3) речь шла о множествах, «элементами которых являются подмножества $M$ и только они». Но $\varnothing$ не содержит подмножеств $M$, и, значит, не удовлетворяет условию.
Хотя да, я, пожалуй, неправ: $\varnothing$ равно, например, множеству всех подмножеств $M$, неравных себе...

[arseniiv]

Connector в сообщении #1394567 писал(а):

это Вы про меня?

Ну да. Надеюсь, понятно, что это не совсем серьёзно, но всё-таки действительно упускать нули, единицы, пустые множества и другие тривиальные решения обычно не стоит, часто это как минимум усложняет вид ответа.

Connector в сообщении #1394567 писал(а):

Хотя да, я, пожалуй, неправ: $\varnothing$ равно, например, множеству всех подмножеств $M$, неравных себе...

Да. Условие более формально можно выразить как «каждый элемент <интересующего множества> — подмножество $M$», тогда будет прозрачно, потому что каждый элемент пустого множества удовлетворяет чему угодно.

[Connector]

Сейчас подумал: как легко прийти к недоразумениям при неформальном изложении: утверждения: «Множество $M$ содержит некоторые элементы из $A$» и «Некоторые элементы $M$ суть элементы $A$» неэквивалентны! (В случае пустого $M$ первое ложно, а второе истинно).