Метод характеристик (сопло Лаваля)

[follow_the_sun]

Здравствуйте, не подскажете источники, в которых можно найти информацию про него? Мы этим методом профилируем сопло Лаваля, но у меня так ужасно законспектировано, что разобрать ничего не могу.
А есть ли какие-нибудь другие методы? У нас такая постановка задачи: имея параметры в камере сгорания, найти расход топлива, при котором будет обеспечена заданная тяга. Методом характеристик я получил неточное решение (отличие - $7$% от того, что должно быть).Стоит заметить, что у всех, кто сделал эту часть курсача такая погрешность, преподаватель сказал, что это нормально так как метод достаточно приближенный. Нашел статью https://habr.com/ru/post/347086/. Но ведь для того, чтобы найти площадь и параметры газа в каждом сечении, надо знать число Маха в нем, а как его получить мне не совсем понятно.

[Pphantom]

Его описание есть, наверное, почти во всех учебниках по матфизике или по гидро/газодинамике, но, кажется, проблема не в этом. Метод характеристик - это метод решения дифференциальных уравнений в частных производных, сводящий задачу к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Он сам по себе никаких погрешностей не вносит, так что вы, по-видимому, понимаете под этим названием что-то другое (скорее всего - комбинацию метода с чем-нибудь для численного решения ОДУ и т.п.).

follow_the_sun в сообщении #1392475 писал(а):

Но ведь для того, чтобы найти площадь и параметры газа в каждом сечении, надо знать число Маха в нем, а как его получить мне не совсем понятно.

Там же есть просто готовая сводка формул, позволяющая выразить все через число Маха.

[follow_the_sun]

Pphantom

Pphantom в сообщении #1392495 писал(а):

Там же есть просто готовая сводка формул, позволяющая выразить все через число Маха.

Да, а как получить число Маха? Оно известно только в выходном сечении ( по условию) и в критическом ( по опр. критического сечения). Зная график числа Маха вдоль длины сопла, можно было бы получить все параметры. Как я понимаю,

Pphantom в сообщении #1392495 писал(а):

Метод характеристик - это метод решения дифференциальных уравнений в частных производных, сводящий задачу к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Он и позволяет найти зависимость Маха от длины?

[Pphantom]

follow_the_sun в сообщении #1392500 писал(а):

Зная график числа Маха вдоль длины сопла, можно было бы получить все параметры. Как я понимаю,

Там в самом начале есть "основное уравнение". Если бы был готовый график зависимости числа Маха от расстояния вдоль оси сопла, это не было бы задачей.

follow_the_sun в сообщении #1392500 писал(а):

Он и позволяет найти зависимость Маха от длины?

И его тоже. Течение газа в сопле описывается системой ДУЧП, метод характеристик попросту позволяет эту систему решить.

[follow_the_sun]

Pphantom
Понятно.

Pphantom в сообщении #1392495 писал(а):

Его описание есть, наверное, почти во всех учебниках по матфизике или по гидро/газодинамике

Можете посоветовать, где лучше почитать о нем?

[Pphantom]

follow_the_sun в сообщении #1392521 писал(а):

Можете посоветовать, где лучше почитать о нем?

Ну, например... это не совсем по профилю, но соответствующий вопрос изложен подробно и доходчиво: К.П.Станюкович, "Неустановившиеся движения сплошной среды", глава 2 (заодно можно и главу 1 посмотреть в качестве базы).

[Munin]

«Литература по математике» > УМФ смотрели?

[follow_the_sun]

Munin
смотрел только литературу по физике -МЖГ

-- 12.05.2019, 16:48 --

Pphantom
Станюкович, стр. 83:
А почему из $\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\operatornamediv(\rho \vec{v})=0$
для центрально-симметричного потока получается $(x,r)$
$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+v_x\dfrac{\partial \rho}{\partial r}+\rho\dfrac{\partial v_x}{\partial r}+ \dfrac{N v_x\rho}{r}=0$
Что такое $\dfrac{N v_x\rho}{r}$ ?

[follow_the_sun]

1. Находим уравнение поверхности, при прохождении через которую параметры газа меняются на бесконечно-малую величину, а производная терпит разрыв - характеристические поверхности, приравнивая "определитель" системы уравнений в частн. производных.
2. На этой поверхности получаем обыкновенные дифф. уравнения для параметров, решаем их.
Таким образом, если мы создадим где-нибудь в сопле (профиль и длина которого пока неизвестны), малое возмущение, то в обе стороны будет распространяться конечное возмущение. При этом, если мы создаем такое возмущение в сверхзвуковой части, то оно будет двигаться лишь в одну сторону (в другом направлении будет "сноситься" средой, движущейся со сверхзвуковой скоростью)?
3.Мы знаем вид уравнения характеристической поверхности и параметры на ней. Предполагаем, что движение радиально симметрично.
Так же знаем число Маха в выходном сечении ($M_{0}$). Если на оси выходного сечения создать малое возмущение, то оно будет распространяться под углом $\arcsin(\dfrac{1}{M_{0}})$ к оси.
Но что делать дальше?

[Pphantom]

follow_the_sun в сообщении #1392537 писал(а):

Станюкович, стр. 83:

Что-То я ничего подобного там не вижу...

[follow_the_sun]

Pphantom
Возможно у нас издания разные. У меня 1971 (брал отсюда http://gidropraktikum.narod.ru/documents.htm) -формула 8.30 стр. 83

[Pphantom]

Тогда давайте отложим до среды (если никто другой ничего по дороге не напишет). У меня сейчас в наличии только смартфон в роуминге, качать разные издания книг несколько затруднительно.

[follow_the_sun]

Pphantom
Давайте, я хочу сначала разобраться с методом характеристик, а уравнение $(8.30)$ можно отложить на десерт

[Pphantom]

Ну вот, добрался. Заодно появилась возможность без сильных сложностей посмотреть исходники того, что вы набирали (что оказалось важнее, чем поиск нужного места в книге), и стало ясно, что вот это:

follow_the_sun в сообщении #1392537 писал(а):

А почему из $\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\operatornamediv(\rho \vec{v})=0$

на самом деле было уравнением неразрывности

$$ \dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla (\rho \vec{v})=0 $$

Тогда яснее и последующее. $N$ отвечает за вид симметрии, если это одномерная задача, то $N=0$, для осевой или центральной симметрии получится соответственно $N=1$ (это как раз нужный вам случай) и $N=2$. Вывод длинный, но элементарный: надо записать дивергенцию в цилиндрических или сферических координатах соответственно и учесть, что частные производные по угловым координатам в силу симметрии течения нулевые. Окажется, что результат в общем случае можно записать в виде формулы (8.30).

[follow_the_sun]

Pphantom
Понял, спасибо! Еще можете объяснить как мы с помощью метода характеристик профилируем сопло?

follow_the_sun в сообщении #1392580 писал(а):

1. Находим уравнение поверхности, при прохождении через которую параметры газа меняются на бесконечно-малую величину, а производная терпит разрыв - характеристические поверхности, приравнивая "определитель" системы уравнений в частн. производных.
2. На этой поверхности получаем обыкновенные дифф. уравнения для параметров, решаем их.
Таким образом, если мы создадим где-нибудь в сопле (профиль и длина которого пока неизвестны), малое возмущение, то в обе стороны будет распространяться конечное возмущение. При этом, если мы создаем такое возмущение в сверхзвуковой части, то оно будет двигаться лишь в одну сторону (в другом направлении будет "сноситься" средой, движущейся со сверхзвуковой скоростью)?
3.Мы знаем вид уравнения характеристической поверхности и параметры на ней. Предполагаем, что движение радиально симметрично.
Так же знаем число Маха в выходном сечении ($M_{0}$). Если на оси выходного сечения создать малое возмущение, то оно будет распространяться под углом $\arcsin(\dfrac{1}{M_{0}})$ к оси.
Но что делать дальше?