Задача ЕГЭ. Теория вероятности.

[robot80]

Здравствуйте, всем участникам форума.
Не первый раз сталкиваюсь с задача ЕГЭ на теорию вероятности и неоднозначностью их решения и объяснения. Хотелось бы обсудить этот вопрос именно с педагогической стороны (как решать, я знаю )
Задача такая: 11 человек соят в хороводе. Какова вероятность, что два конкуретных человека (Х и У) будут стоять рядом?
Первое решение: считаем n: $n = 11!$ - количество способов которыми 11 человек могут встать в хоровод. Считаем m: $m = 9! \cdot 2 \cdot 11$ количество способов, которыми 9 оставшихся человек могут расположиться вокруг указанной пары. Делим второе на первое, получаем $p = 0,2$.
Второе решение: считаем n: $n = 10$ - количество способов которыми Y может занять оставшиеся 10 позиций после фиксации Х на одном месте. Считаем m: $ m = 2 $ количество способов, которыми Y может занять 2 позиции возле Х. Делим второе на первое, получаем $p = 0,2$.
Третье решение: Считаем n: $n = 10 \cdot 9 = 90$ - количество способов которыми можно последовательно занять две позиции возле фиксированного Х: вначале выбор из 10, потом выбор из 9. Считаем m: $ m = 2 \cdot 9 = 18 $ количество способов, которыми оставшиеся 9 человек могут занять позицию возле Х, с учётом возможной смены их расположения: XY или YX. Делим второе на первое, получаем $p = 0,2$.
И вот вопросы для обсуждения, навеянные этими решениями:
1) Какое решение правильное? Ведь можно расуждать неправильно, но получить правильный ответ. Решение 1 взято из вузовского сборника, решение 2 приводится во всех решебниках ЕГЭ, третье решение я нигде не встречал.
2) Попытка перенести эти решения на аналогичную задачу про линейную очередь (не хоровод) дают разные ответы. Первое решение даёт $p =\frac {2} {11} $, второе и третье решение - $p =0.1 $.
3) Как угадать, какой способ решения правильный? Конечно, можно ориентироваться на условие записи в виде конечной десятичной дроби, но не факт, что это условие когда-нибудь не сработает.

[Brukvalub]

Правильным будет всякое решение, в котором элементарными выбраны такие исходы, которые по смыслу задачи будут иметь одинаковые вероятности. Вот над этим и стоит задумываться при подсчетах общего числа элементарных исходов и числа благоприятных элементарных исходов.

[warlock66613]

robot80 в сообщении #1389048 писал(а):

Попытка перенести эти решения на аналогичную задачу про линейную очередь (не хоровод) дают разные ответы.

Значит, вы попросту неправильно это делаете. Приведите своё решение адачи про линейную очередь - которое без факториалов.

-- 24.04.2019, 09:39 --

robot80 в сообщении #1389048 писал(а):

как решать, я знаю

Видимо, всё-таки не знаете.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Вопросы преподавания» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: по-видимому, это все-таки вопрос не по преподаванию, а по математике.

[robot80]

Здравствуйте!
Привожу второе решение для очереди. Будем рассуждать в точности, как и во втором решении для хоровода. Х фиксирован. Считаем n: $n=10$ - количество способов, которыми Y может занять оставшимеся 10 мест (так же как и при хороводе); считаем m: $m = 1$ - количество способов занять одно свободное место рядом с Х. Делим одно на другое, получаем, что $p = 0,1$.

[TOTAL]

robot80 в сообщении #1389142 писал(а):

Здравствуйте!
Привожу второе решение для очереди. Будем рассуждать в точности, как и во втором решении для хоровода. Х фиксирован. Считаем n: $n=10$ - количество способов, которыми Y может занять оставшимеся 10 мест (так же как и при хороводе); считаем m: $m = 1$ - количество способов занять одно свободное место рядом с Х. Делим одно на другое, получаем, что $p = 0,1$.

Для хоровода вероятность равна $2/10$. Из хоровода получим очередь, разорвав хоровод. С вероятностью $10/11$ они остались рядом. Итого для очереди вероятность равна ...

[gris]

Предлагаю ещё для линейного случая разделять крайние и внутренние места, либо разделять правое и левое соседство. У меня никак не получается получить разные ответы

[robot80]

Здравствуйте!
Дело ведь не в том, чтобы придумать объяснение для подгонки под верный ответ. А в том, что упрощённый ЕГЭшный метод решение для хоровода вроде бы не подходит для очереди.

[TOTAL]

robot80 в сообщении #1389151 писал(а):

Здравствуйте!
Дело ведь не в том, чтобы придумать объяснение для подгонки под верный ответ. А в том, что упрощённый ЕГЭшный метод решение для хоровода вроде бы не подходит для очереди.

Не подгоняйте упрощенный ЕГЭшный метод под неверный ответ. В очереди рядом с $X$ одно или два свободных места.

[robot80]

Ага... Вроде бы нащупал объяснение с учётом замечаний Brukvalub и TOTAL . В хороводе на какое бы место Х не вставал, у Y всегда есть две возможности встать рядом. И они равновероятны для любого положения Х. В очереди же возмозможностей встать рядом с Х либо одна, либо две и они не равновероятны. Значит упрощённый метод не применим.

[warlock66613]

robot80 в сообщении #1389161 писал(а):

Значит упрощённый метод не применим.

Применим, конечно. Считаем: у $X$ одиннадцать позиций, где он может встать (в случае хоровода мы отсчитывали позиции от него, поэтому вариант "$X$ стоит в начальной позиции" был единственным), $Y$-у тогда остаётся десять. То есть всего вариантов $11 \cdot 10$. А способов встать рядом $10 \cdot 2$ - десять вариантов выбрать два соседних места и два варианта расположения $X$, $Y$ на выбранных местах. Итого $\frac {10 \cdot 2} {11 \cdot 10} = \frac 2 {11}$.

[robot80]

Хм, никак не могу понять появления второго произведения.... Здесь скорее сумма: если Х стоит в начале или конце очереди, то возможностей встать рядом в целом две; если Х стоит со 2-й по 10-ю позицию, то, считая возможности встать слева и справа, получим в целом $9 \cdot 2 $. Складываем все возможности: $1 + 1 + 2 \cdot 9 = 20$.
А как быть с равновероятностью реализаций, ведь встать Х-у со 2-й по 10-ю позицию явно вероятнее, чем в 1-ю и 11-ю? Или я это как-то неправильно понимаю?

[warlock66613]

robot80, есть два равновероятных варианта: либо $X$ стоит слева от $Y$, либо наоборот - отсюда множитель два. А без учёта порядка остаётся десять возможностей: $(1,2), (2,3), \dots, (10,11)$. Ваш способ тоже годится.

$X$-а в два раза вероятнее обнаружить в некрайней позиции при условии что $X$ и $Y$ стоят рядом. У нас же такого условия нет. У нас наоборот по условию все места равновероятны.

[wrest]

robot80 в сообщении #1389383 писал(а):

Хм, никак не могу понять появления второго произведения..

Ой, да снизьте вы количество человек до трёх и сразу поймёте . В хороводе встать рядом вероятность 1, в шеренге $\frac{2}{3}$
А лучше, выпишите уже формулы $p(n)$ для хоровода и для шеренги.

[robot80]

Вроде разобрался...
Прошу отметить, что при реализации второго решении ход рассуждения для очереди достаточно сильно отличается от хоровода. А при реализации первого решения такого кардинального отличия нет.
А что с моим третьим решением из первого сообщения? Оно правильное? Как его изменить для очереди?