Деление и вычитание натуральных чисел

[nide9]

Разумеется, делить и вычитать умеют все со школы. Но как это делается "правильно" с точки зрения математики?
Разностью двух натуральных чисел b и a (b > a) называется решение уравнения x + a = b. Допустим, нам надо найти разность 9 - 2, то есть x в уравнении x + 2 = 9 . Как это сделать "правильно"? Подбором? То есть перебирать "иксы" начиная с единицы, пока не дойдем до семи? Или вспомнить по таблице сложения какое число в сумме с двумя даст 9? Или же заметить, что 9 = S(8), а 8 = S(7), тогда 9 = 8 + 1 = (7 + 1) + 1 = 7 + 2.
Еще мысль через аксиому сложения: a+S(b)=S(a + b).
x + 2 = x + S(1) = S(x + 1) = 9.
Так как 9 = S(8), то x + 1 = 8, а т.к. 8 = 7 + 1, то x=7
Все способы приведут к нужному решению, но какой из них математически более правильный?
И каким образом следует "правильно" разделить два числа (a на b)? То есть найти числа q и r в уравнении a = b\cdot q + r. Наверняка это делается не простым подбором.
И порекомендуйте, пожалуйста, литературу, где это объясняется.

[LMA]

nide9
А как "правильно" суммировать? Мне кажется, что ответ на этот вопрос укажет путь.

[alesha_popovich]

nide9 в сообщении #1382238 писал(а):

Наверняка это делается не простым подбором

Конечно не простым подбором, можно ещё столбиком складывать, вычитать, делить, умножать.

nide9 в сообщении #1382238 писал(а):

И порекомендуйте, пожалуйста, литературу, где это объясняется.

Школьный учебник, не помню за какой класс, в котором учат всякие арифметические операции столбиком производить.

[grizzly]

nide9 в сообщении #1382238 писал(а):

надо найти разность 9 - 2

alesha_popovich в сообщении #1382240 писал(а):

Школьный учебник, не помню за какой класс, в котором учат всякие арифметические операции столбиком производить.

У Вашего совета проблемы не только с памятью. Вряд ли в школьном учебнике учат вычислять $9-2$ столбиком.

[wrest]

Вычитать из уменьшаемого по единице, пока не закончится вычитаемое.
Делить вычитанием делителя из делимого, пока делимое не станет меньше делителя.
Результат может не существовать, т.к. не для всех пар определены эти две операции.

[iifat]

nide9 в сообщении #1382238 писал(а):

Но как это делается "правильно" с точки зрения математики?

В математике вообще ничего не делается. Соответственно, никакой способ не правильный. Способы — это вне математики.

[alesha_popovich]

grizzly в сообщении #1382243 писал(а):

У Вашего совета проблемы не только с памятью. Вряд ли в школьном учебнике учат вычислять $9-2$ столбиком.

\begin{array}{r} - \begin{array}{r} 9 \\ 2 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{r} 7 \end{array} \end{array}, в чем, собственно, проблема?

[grizzly]

(Оффтоп)

alesha_popovich в сообщении #1382263 писал(а):

в чем, собственно, проблема?

Хм.. а я подумал, что проблемы с долговременной памятью. Напоминаю: так в школьных учебниках не учат.

[arseniiv]

iifat в сообщении #1382253 писал(а):

Соответственно, никакой способ не правильный. Способы — это вне математики.

Ну это слишком сильное утверждение, теорем о разных способах что-то находить (собственно, конструктивных) пруд пруди, проблема-то тут как раз в неопределённости слова «правильно» и молчаливой пресуппозиции, что школьные способы чем-то в этом смысле «неправильны», хотя скорее всего имеется в виду такая банальность, что пресуппозиция в итоге неверна.

nide9 в сообщении #1382238 писал(а):

Разностью двух натуральных чисел b и a (b > a) называется решение уравнения x + a = b.

Ограничение $b>a$ тут излишне. Если решения не существует, то и разность не существует. (И если бы решений могло быть больше одного, можно было бы говорить, что разность не единственна — для многих понятий это совершенно нормальное словоупотребление.)

Далее вы погружаетесь в арифметику первого порядка, хотя это совершенно необязательно, потому что если так хочется дойти до самого низа, нужно другое — какой-то аппарат вычислимости типа рекурсивных функций, алгоритмов Маркова, машин Тьюринга/Минского/Поста/Колмогорова, λ-исчисления и т. п..

В частности, если мы абстрагируемся от вопроса записи чисел и считаем, что можем к любому числу прибавить 1, сравнить число с нулём и отнять 1 от ненулевого числа (сравнили перед этим и убедились), и работаем всё время с конечным набором чисел (записывая их на поименованных листках), для формализации подойдут машины Минского. Вычитание будет происходить как написал wrest:

В начале на листе $A$ уменьшаемое $a$, на $B$ вычитаемое $b$. Начинать с шага 1.
1. $B = 0?$ Да — закончить работу нормально. Нет — перейти к 2.
2. $A = 0?$ Да — закончить без результата. Нет — перейти к 3.
3. Вычесть 1 из $A$; перейти к 4.
4. Вычесть 1 из $B$; перейти к 1.
После нормального завершения $A = a - b$.

Машина для деления тоже получится прямо по описанию wrest.

Имея подобный конкретный алгоритм, можно строго доказать его корректность. (Тут я машину описал рукомахательно, но чтобы сделать это аккуратнее, надо вводить определение машины Минского, хотя оно на удивление простое.)

[iifat]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1382478 писал(а):

теорем о разных способах что-то находить

Таки продолжаю настаивать: это не математика. Математика — это $2\times2=4$. Если вы из это равенство получили в процессе деления 4 на 2 и извлекли из него частное, это уже ваше стремление — математике оно безразлично.

[arseniiv]

(Оффтоп)

По-моему, такая точка зрения не совсем продумана. Трудно не наткнуться вообще ни на какие построения ни разу, делая что-то нетривиальное в математике.

[iifat]

(Оффтоп)

Естественно. Трудно, занимаясь математикой, заниматься только математикой

[arseniiv]

(Оффтоп)

Думаю, вопрос того, какую деятельность в точности следует относить к математике, к этой теме всё-таки не совсем имеет отношение. Да, формулировка, которая есть сейчас — так себе. Но всё может улучшиться. Если не улучшится, тогда и посмотрим.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.