1-2+3-4+...

[Sicker]

Собственно сумма этого ряда в обобщенном смысле равна $\frac{1}{4}$, например если суммировать по Абелю. Но можно суммировать его более общим методом, например при помощи разделения шкал, про которую говориться в той статье. Т.е. можно вместо экспоненты как у Абеля взять любую другую убывающую до нуля функцию. И вопрос в следующем, для каких рядов можно вот так в более широком смысле взять сумму? Ведь насколько я понимаю, не всякий ряд имеющий сумму по Абелю имеет ее по методу φ-суммирования?

[Someone]

Вообще, методов суммирования расходящихся рядов — воз и маленькая тележка. Подробнее о них можно узнать, например, в трёхтомнике Г. М. Фихтенгольца (глава XI, § 9).

[Sicker]

Someone
Но если они линейны, инварианты относительно сдвига и регулярны, то они все эквивалентны?

[Someone]

Не в курсе. Никогда не интересовался методами суммирования расходящихся рядов сверх праздного любопытства. Подозреваю, что если бы они были все эквивалентны, то в указанном трёхтомнике об этом была бы теорема.

И да, разные методы имеют, вообще говоря, разные области применимости, и уже поэтому не эквивалентны. Обязательно ли они дают одинаковые суммы в тех случаях, когда оба применимы, не знаю.

[mihaild]

Существует много методов обобщенного суммирования - любой предел Банаха задает метод суммирования, которым суммируемы вообще все ряды.
(как соотносятся друг с другом разные реально где-то указанные методы - не знаю)

[Padawan]

Есть книжка Харди Расходящиеся ряды.

[Sicker]

Кстати, я не очень понимаю, как при нахождении суммы 1+2+3+... аппроксимировали ступеньки частичных сумм на правой картинке параболой так, чтобы в нуле получить $-\frac{1}{12}$? Там же вроде будет $\frac{x^2}{2}$ аппроксимация, чтобы по центрам разностей ступенек проходила, разве нет? И еще, насколько так корректно аппроксимировать сумму 1+1+...? Эти аппроксимации хоть какой-то смысл имеют, или просто совпадения?

[arseniiv]

Там же прям под картинкой ссылка на пост Тао.

[Sicker]

arseniiv
Так у него там нет картинки

[arseniiv]

Какой ужас.

[Sicker]

А кстати, я правильно понимаю, что ряд $1-2+4-8+...$ не суммируется по Абелю? Т.к. там член растет так же экспонентоциально, как спадает сглаживающая функция.

[Padawan]

Нет, не суммируется.

[Sicker]

Someone
arseniiv
Padawan
Там короче Тао обобщенно суммирует по Абелю, с отбрасыванием бесконечно большого слагаемого. Насколько это имеет отношение к картинке 1+2+3+... или 1+1+...? Насколько вообще корректно проводить такие асимптоты? И да, какая асимптота на картинке 1+2+3+...?
И правильно я понимаю, что в суммировании по Абелю мы можем разрядить ряд, т.е. увеличить позицию каждого члена в два раза, а освободившееся пространство заполнить нулями. От этого только показатель экспоненты изменится, но он же вроде не важен?

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1379791 писал(а):

Насколько вообще корректно проводить такие асимптоты? И да, какая асимптота на картинке 1+2+3+...
?

Смотрите на формулу асимптотического разложения

$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n \eta(n/N) = -\frac{1}{12} + C_{\eta,1} N^2 + O(\frac{1}{N}) \ \ \ \ \ (12)$$

(код прям оттуда). Если отбросить $O(\frac1N)$, то мы получим подобную параболу. И между прочим в той же статье из англовики есть раздел #Cutoff_regularization, в котором проделывается то же.

(Для кое-кого, кто потенциально не вчитывается, $N$ — вещественное число.)

Sicker в сообщении #1379791 писал(а):

разрядить ряд, т.е. увеличить позицию каждого члена в два раза

Разредить.

[Sicker]

arseniiv
Someone
Padawan
Помогите найти ошибку при нахождении суммы $1+2+3+...$
Для начала найдем smooth sum $\sum_{n=1}^{\infty} ne^{-\epsilon n}=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\epsilon n} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\epsilon n}=(\frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{2})(\frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{2}+1)=\frac{1}{\epsilon^2}-\frac{1}{4} $
Отбрасывая $\frac{1}{\epsilon^2}$, получаем значение $-\frac{1}{4}$, а не $-\frac{1}{12}$