К вопросу о природе

[buddha13]

Читая учебники, можно найти фразы типа "рассмотрим множество елементов различной пророды", "рассмотрим природное действие группы на множество" и т.д.
У меня возник вопрос относительно множеств с елементами различной проироды, в смысле ммножества, где есть елементы разной природы, и в следствии - взаимоотношение елементов различной природы. Сразу возникла проблема - на интуитивном уровне вроде-как понятно, что функция и натуральное число имеют различную природу, но как дать определение природы елемента? Действия между елементами различной пророды(снова-же на интуитивном уровне) я назвал неприродными. Впоследствии может выйти что-нибудь интересное. Например, человек, имея в кармане монету, карандаш и листок бумаги, может произвести с ними различные действия(ясно какие).
СОБСТВЕННО ВОПРОС - не существует ли какой-нибудь теории касательно этого и если нет, не является ли это бредом сумасшедшего? \

[ewert]

buddha13 писал(а):

Читая учебники, можно найти фразы типа "рассмотрим множество елементов различной пророды",

"Как дать определение природы елемента" -- понятия не имею, но откуда Вы берёте эти книжки -- тем более непонятно. Вообще говоря, в учебниках никаких елементов не встречается.

[buddha13]

Вы правы. В учебниках в основном встречаются символы и изображения. Но не это я хотел услышать...

[Captious]

buddha13 писал(а):

У меня возник вопрос относительно множеств с елементами различной проироды, в смысле ммножества, где есть елементы разной природы, и в следствии - взаимоотношение елементов различной природы. Сразу возникла проблема - на интуитивном уровне вроде-как понятно, что функция и натуральное число имеют различную природу, но как дать определение природы елемента?

А никак: "елемент" - это т.наз. неопределяемое (первичное) понятие.
Равно как и его "природа" и даже "принадлежность" елемента ко множ-ву.

В теории множеств постулируется, что любые достаточно реальные или как минимум четко осознаваемые объекты можно мысленно соединить во множество.
Например, рассматривать такое призрачное множ-во как {солнце, разум, апельсин}
Но строить множ-во из призраков мы не можем: сам способ мыслить о множ-вах исходит из того, что элементы, из которых собираются множ-ва заранее четко определены и обладают реальностью, не зависящей от их группировки во множ-во.

В теории систем вместо этого предполагается, что существ-ние целого дает возможность расчленять целое , выделять в нем компоненты (части).
Отсюда приходим к противопоставлению «принципа неразборчивости» естественной системе.

«Принцип неразборчивости» является логическим основанием множ-в как особых реальностей, отличающихся от реальности самих элементов. В частности, именно он позволяет ввести множ-во {x}, состоящее из одного элем-та и рассматривать это множ-во как сущность, отличную от самого элем-та x: {x} $\neq$ x
А вот в теории систем совокупность возникает как естественные классы, образованные из элементов общей природы, которые существуют не сами по себе, но в системе.
Пример. Представление геометрической линии как некой сущности, наполненной точками (геометрическое место точек) - это ближе к теории систем, чем к теории множеств.

[Someone]

Captious в сообщении #137948 писал(а):

В теории множеств постулируется, что любые достаточно реальные или как минимум четко осознаваемые объекты можно мысленно соединить во множество.
Например, рассматривать такое призрачное множ-во как {солнце, разум, апельсин}

Это в какой теории множеств Вы такое нашли?

[AD]

Все элементы - одной природы: это множества. Никаких других элементов в теории множеств не предполагается.

[Someone]

Captious в сообщении #137948 писал(а):

«Принцип неразборчивости» является логическим основанием множ-в как особых реальностей, отличающихся от реальности самих элементов.

Околесица. Никакого "принципа неразборчивости" в теории множеств нет.

Captious в сообщении #137948 писал(а):

В частности, именно он позволяет ввести множ-во {x}, состоящее из одного элем-та и рассматривать это множ-во как сущность, отличную от самого элем-та x: {x}≠x

Ничего подобного. Неравенство $\{x\}\neq x$ обеспечивается аксиомой регулярности, которая иногда называется аксиомой фундирования. Аксиома регулярности не является обязательной, без неё вполне можно обойтись. Тогда равенство $\{x\}=x$ становится возможным.

Captious в сообщении #137948 писал(а):

Но строить множ-во из призраков мы не можем

Чем уж так призраки Вам не угодили?

Captious в сообщении #137948 писал(а):

сам способ мыслить о множ-вах исходит из того, что элементы, из которых собираются множ-ва заранее четко определены и обладают реальностью, не зависящей от их группировки во множ-во

Ерунда это. Никакой "реальности" за пределами теории множеств от элементов не требуется.

AD писал(а):

Все элементы - одной природы: это множества. Никаких других элементов в теории множеств не предполагается.

Обычно - да. Но есть варианты теории множеств, в которых кроме множеств есть атомы - объекты, которые не являются множествами, но могут быть элементами множеств. Это требует уточнения аксиомы объёмности (экстенсиональности). Однако совокупность атомов, разумеется, должна быть определена наряду с набором аксиом, а произвольное включение в теорию по ходу дела всего, что вздумается, не допускается.

[buddha13]

Спасибо всем тем кто написал. Я вот думал - пускай на множестве (произвольном) мы определим бинарную операцию, следовательно, есть смысл требовать замкнутость. Далее, если элементы различной природы, то это действие должно быть определено для элементов любой произвольной природы, находящихся в нашем множестве. Еще - пускай имеем элемент А природы 1 и элемент В природы 2, результатом действия этих двоих элементов может стать элемент С, который будет иметь или природу 1 или природу 2 или же некоторую новую природу 3. Это и может быть самым интересным.
Вообще все эти вопросы возникли когда я думал над нормальной формой для различных математических обьектов( например ЖНФ). Возможно ли как-то закодировать различные обьекты так, чтобы глядя на их нормальную форму с уверенностью сказать - различны ли они по сути или же нет. Вот например функция - это тройка, где определяется область определения, область куда ф-я действует и собственно само правило. Плоскую фигуру, не обращая внимания на расположения можна закодировать например так (а,b,)где а - число вершин, b - площадь, ну и возможно еще выпуклость, впуклость.
Просто иногда встречаются задачи, где если посмотреть на некоторый обьект не так как он описан, а представить его в другом виде - задача сразу обретает другое решение, так как использовался другой аппарат.

[tolstopuz]

buddha13 писал(а):

Вообще все эти вопросы возникли когда я думал над нормальной формой для различных математических обьектов( например ЖНФ). Возможно ли как-то закодировать различные обьекты так, чтобы глядя на их нормальную форму с уверенностью сказать - различны ли они по сути или же нет.

Группа французских математиков, объединённых псевдонимом Бурбаки, считает математика молодым до пятидесяти лет (если он не кокотизирован раньше). Кокотизация (название, видимо, происходит от древнего обычая полинезийских племён испытывать стариков, способны ли они ещё приносить пользу племени: старик должен достать кокосовый орех с вершины кокосовой пальмы, которую всё племя при этом трясёт...) состоит в том, что математика, молодость которого вызывает сомнения, заставляют выслушать, в присутствии предупреждённых коллег, длиннейшее определение нового математического понятия, составленное так, что ничто, кроме нуля, этому определению не удовлетворяет. Если испытуемый вскричит: «Но ведь это нуль!» – то он спасён, если нет – кокотизирован.

[Captious]

buddha13 писал(а):

Возможно ли как-то закодировать различные обьекты так, чтобы глядя на их нормальную форму с уверенностью сказать - различны ли они по сути или же нет.

Можно "детский вопрос"? Спасибо...
Какие объекты вы собираетесь кодировать? Реальные или математические, которые сами по себе уже являются моделями реальных.
В математике осуществляется достаточно сильное отвлечение от "природы/сути" реальных объектов, что в свою очередь позволяет одной и той же математической моделью описывать реальные объекты ( процессы, явления и т.д.) совершенно различной "природы".
Вот, например, что пишет академик А.Д. Александров:

«Предмет математики составляют те формы и отношения действительности, которые объективно обладают такой степенью безразличия к содержанию, что могут быть от него полностью отвлечены и определены в общем виде с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы служить основанием для чисто логического развития теории. Если такие отношения и формы и называть количественными в общем смысле слова, то можно коротко сказать, что матем-ка имеет своим предметом количественные отношения и формы, взятые в их чистом виде». (Подчеркнуто Captious).
По-моему, учет специфической "природы" объектов надо производить не внутри математики, а в её приложениях...

[Yarkin]

buddha13 в сообщении #137861 писал(а):

ммножества, где есть елементы разной природы

В таком множестве не легко определить действия между его элементами.

AD в сообщении #137972 писал(а):

Все элементы - одной природы: это множества.

Например - множество отрезков различной длины, где между элементами можно ввести только действия сложения и вычитания.

[AD]

Yarkin в сообщении #138189 писал(а):

В таком множестве не легко определить действия между его элементами.

Это субъективно. Мне, например, очень легко. Ну а если даже и не легко - что с того? Это теперь не множество?

Yarkin в сообщении #138189 писал(а):

Например - множество отрезков различной длины, где между элементами можно ввести только действия сложения и вычитания.

Ну да, отрезки - это множества. А операции, повторяю, к делу отношения не имеют.

[ZVS]

В теории множеств,например у Зорича, во введении в Мат.анализ т.1 пар.2,стр 6-8 и далее можно узнать, что
достаточно ввести без каких либо оговорок, некий элемент X ,сразу определить для него операции включения,а потом обьединения и пересечения.Усё,начальные понятия даны и поехали.
Что интересно, все высказывания никак не трактуют сам элемент X.Изначально это просто некий обьект.А все операции над ним сразу почемуто определяются, как для множества обьектов.Но нигде прямо это не говорится.Заметьте эту странность.Есть некий элемент-обьект который принадлежит множеству.Он введен именно и только как обьект а не совокупность обьектов.Совокупность этих обьектов вообщето и есть то самое множество, которое рассматривается.Ну этот факт опускается, видимо за ненадобностью.Если рассматривать операции над обьектом X ,именно как над любым из подобных обьектов,а по факту ето именно так и делается,то мы сразу рассматриваем не сам обьект, а именно множество их! Везде подразумевается, что их множество и они обладают некими свойствами.При этом это множество "каждых" элементов сразу включено в какое то другое множество!?Вот такие прыжки отцов аксиоматики и закладывают фундамент той стенки, которую они так давно научились, изящно надо признать, перепрыгивать.А перепрыгивают они тот факт, что для любых элементов множества не может не существовать признака, по которому они отличаются именно как элементы между собой!Как же так?Множество элементов изначально состоящее из совершенно неотличимых меж собой обьектов,не может быть разделено на данные элементы и имеет лишь свойство целого.Впрочем это такие мелочи..

[buddha13]

Круто.

[AD]

ZVS

Смешно, что вы в вопросах о теории множеств ссылаетесь на Зорича и к тому же называете его "отцом аксиоматики". Или других книжек типа не читали? А, ну помню, еще Фихтенгольца, да?