Система уравнений

[math_lover]

Здравствуйте ☺

Мне это уравнение (или скорее возможное решение к этому уравнению) не дает спокою уже полгода. Кто разбирается с алгебраической геометрией (я жаль нет) и заодно есть CAS, думаю, было бы достаточно быстро решить это уравнение. Саму (геометрическую) проблему я еще опускаю, но уравнение составлено правильно:

$\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{c_1} + mM}}{{\sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right)\left( {{M^2} + 1} \right)} }} = \cos \left( {{\alpha _1}} \right),\\ \frac{{ - {c_2}\sin (\gamma ) - {c_1}\cos (\gamma ) + mM}}{{\sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right)\left( {{M^2} + 1} \right)} }} = \cos \left( {{\alpha _2}} \right),\\ c_1^2 + c_2^2 = 1. \end{array} \right.\]$

Нужно найти $M$. Из геометрической проблемы ясно, что решения достаточно для этих условий: $\[0 < \gamma < \pi ,\frac{\pi }{2} < {\alpha _1} < \pi ,\frac{\pi }{2} < {\alpha _2} < \pi ,m > 0\]$. С помощью Mathematica смог с еще одним ограничением $\[{\alpha _1} = {\alpha _2} \equiv \alpha \]$ найти это решение:
$\[\begin{array}{l} {M_1} = \frac{{2m\sqrt {{m^2} + 1} \cos (\alpha ) - \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\gamma }{2}} \right)\sqrt { - \cos (\gamma ) - \left( {{m^2} + 1} \right)\cos (2\alpha ) + {m^2}} }}{{\left| {\sqrt 2 m\sqrt { - \cos (\gamma ) - \left( {{m^2} + 1} \right)\cos (2\alpha ) + {m^2}} + 2\sqrt {{m^2} + 1} \cos (\alpha )\sin \left( {\frac{\gamma }{2}} \right)} \right|}},\\ {M_2} = \frac{{\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\gamma }{2}} \right)\sqrt { - \cos (\gamma ) - \left( {{m^2} + 1} \right)\cos (2\alpha ) + {m^2}} + 2m\sqrt {{m^2} + 1} \cos (\alpha )}}{{\left| {\sqrt 2 m\sqrt { - \cos (\gamma ) - \left( {{m^2} + 1} \right)\cos (2\alpha ) + {m^2}} - 2\sqrt {{m^2} + 1} \cos (\alpha )\sin \left( {\frac{\gamma }{2}} \right)} \right|}}. \end{array}\]$
Mathematica также находит решение для $\[{\alpha _1} \ne {\alpha _2}\]$, но оно во много раз длиннее, чем для $\[{\alpha _1} = {\alpha _2}\]$. А я уверен, что решение для $\[{\alpha _1} \ne {\alpha _2}\]$ в простейшем виде только немного длиннее, чем решение для $\[{\alpha _1} = {\alpha _2}\]$. Только найти это решение я пока никак не смог.

Может кому тоже интересно стало?
Большое спасибо заранее.

Если интересно, могу и саму геометрическую проблему сюда поставить (из которой следует это уравнение), вдруг возможно еще более простое уравнение. Буду рад Вашей помощи.

[alex55555]

math_lover в сообщении #1376489 писал(а):

Здравствуйте

Третье уравнение для поиска М ненужно. После возведения в квадрат обоих оставшихся и их приравнивания друг другу ($\alpha$1=$\alpha$2) получим:

$M=(c_2\sin(\gamma)+c_1\cos(\gamma)-c_1)/2/m$

[math_lover]

Ну так как только одна переменная интересна, то теоретически хватит и одного уравнения:

$\[\frac{{ - \cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos (\gamma )\sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right)\left( {{M^2} + 1} \right)} - \sin (\gamma )\sqrt {1 - {{\left( {mM - \cos \left( {{\alpha _1}} \right)\sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right)\left( {{M^2} + 1} \right)} } \right)}^2}} + mM\cos (\gamma ) + mM}}{{\sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right)\left( {{M^2} + 1} \right)} }} = \cos \left( {{\alpha _2}} \right)\]$

Хотел уточнить: под решениями уравнения я всегда имел в виду только корни уравнения.

[mihiv]

Все можно свести к биквадратному уравнению относительно $M$. Коэффициенты получаются громоздкие, но ничего сложного нет.
Из первых двух уравнений находим $c_1, c_2$ и подставляем в третье уравнение. В полученном уравнении соберем в левой части слагаемые с коэффициентом $mM\sqrt {(1+m^2)(1+M^2)}$, остальные слагаемые перенесем в правую часть. Обе части полученного равенства возводим в квадрат и приходим к биквадратному уравнению.

[math_lover]

Пока вот что получилось

$\[ - \frac{1}{4}{\csc ^4}(\gamma ){\left( {\cos (2\gamma ) + 4\left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right)\cos (\gamma ) + \left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {2{\alpha _1}} \right) + \left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {2{\alpha _2}} \right) + 2{m^2} + 1} \right)^2} + {M^4}\left( {{m^2}\left( {{m^2} + 1} \right){{\left( {\cos \left( {{\alpha _1}} \right) + \cos \left( {{\alpha _2}} \right)} \right)}^2}{{\csc }^4}\left( {\frac{\gamma }{2}} \right) - \frac{1}{4}{{\csc }^4}(\gamma ){{\left( {4\cos (\gamma )\left( {\left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right) + {m^2}} \right) + \left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {2{\alpha _1}} \right) + \left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {2{\alpha _2}} \right) + 6{m^2} + 2} \right)}^2}} \right) + {M^2}\left( {{m^2}\left( {{m^2} + 1} \right){{\left( {\cos \left( {{\alpha _1}} \right) + \cos \left( {{\alpha _2}} \right)} \right)}^2}{{\csc }^4}\left( {\frac{\gamma }{2}} \right) - \frac{1}{2}{{\csc }^2}(\gamma )\left( {4\cot (\gamma )\left( {\left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right) + {m^2}} \right) + \csc (\gamma )\left( {\left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {2{\alpha _1}} \right) + \left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {2{\alpha _2}} \right) + 6{m^2} + 2} \right)} \right)\left( {4\left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right)\cot (\gamma ) + \csc (\gamma )\left( {\cos (2\gamma ) + \left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {2{\alpha _1}} \right) + \left( {{m^2} + 1} \right)\cos \left( {2{\alpha _2}} \right) + 2{m^2} + 1} \right)} \right)} \right) = 0\]$

Даже не полностью отображается.

csc=1/sin

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.