Линейное преобразование

[follow_the_sun]

Имеется окружность радиуса $r$ и прямоугольник со сторонами $a,b$.Аффинным преобр. переводим окружность в эллипс, вписанный в прямоугольник. Подскажите линейное преобразование, "растягивающее" эллипс, так чтобы площадь, покрываемая им была наибольшей.Заранее спасибо)

[Munin]

Извините, если эллипс вписан в прямоугольник, то никакое линейное преобразование его форму уже не изменит. Вы вообще хорошо понимаете, что такое линейные преобразования?

[follow_the_sun]

Munin
Да, я сглупил - оно нелинейное.

Munin в сообщении #1376000 писал(а):

Вы вообще хорошо понимаете, что такое линейные преобразования?

Судя по пред. посту - не очень)

[eugensk]

follow_the_sun

Эллипс можно вписать в прямоугольник по-разному, можно, чтобы его оси были параллельны сторонам, можно под наклоном. Площадь эллипса будет разной. Когда она наибольшая?
Наверное, задача именно в этом. Потом, когда поняли, как он вписан, ищете как перевести в него окружность.

[follow_the_sun]

eugensk
знаете, максимальность площади покрытия -наверное слишком сильное условие.В моей задаче достаточно, чтобы область около угла, не покрываемая эллипсом, имела бесконечно малую площадь. Что посоветуете почитать про отображения плоских фигур?

[mihaild]

follow_the_sun в сообщении #1376019 писал(а):

чтобы область около угла, не покрываемая эллипсом, имела бесконечно малую площадь

Площадь (конкретное число) не бывает бесконечно малой. Она бывает нулевой и ненулевой.

И всё еще непонятно, что вы хотите. Найти какое-то (быть может нелинейное) отображение круга в прямоугольник, так чтобы образ имел максимальную площадь? Тут ответ очевидный: образом может быть весь прямоугольник.

[follow_the_sun]

mihaild
У меня видимо очень путано получается, я изложу с самого начала.В сопромате есть т.н. пленочная аналогия http://mysopromat.ru/uchebnye_kursy/sop ... analogiya/.Предположим, мы приложили к сечению крутящий момент $M_0$. По этой аналогии можно утверждать, что объем между контуром сечения и натянутой пленкой равен величине крутящего момента, а касательное напряжение $\tau =\operatorname{grad}f$, где $f=f(x,y)$- функция, выражающая натяжение пленки. В нашем курсе сопромата есть вывод основных зависимостей для напряжений только для круглого сечения (т.к. для него поперечные сечения остаются плоскими), а формулы для остальных форм просто постулируются (с оговоркой, что вывод выходит за рамки данного курса). Переход от круглого сечения к эллиптическому можно осуществить "растянув круг в эллипс". Мне удалось получить такие же зависимости как и в учебнике для эллипса через условие неизменности крутящего момента при переходе от круглого к эллиптическому сечению :
$M_0=\iiint\limits_{S}f(x,y)dxdy=\iiint\limits_{S}f'(x,y)dx'dy'$. Заменяем $dy\to\alpha dy$ ;$dx\to \beta dx$, получаем , что $f'(x,y)=\dfrac{f(x,y)}{\alpha\beta}$ и дальше очевидная связь градиентов.
Чтобы рассмотреть прямоугольное поперечное сечение надо "растянуть" вписанный эллипс так как показано на фото, чтобы области вблизи углов были малыми (по пленочной аналогии - там нет напряжений). Я не знаю как это сформулировать математически, чтобы написать преобразования бесконечно-малых $dx,dy$.

-- 14.02.2019, 19:57 --

Я тут заметил, что если взять не $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$,a $\dfrac{x^4}{a^2}+\dfrac{y^4}{b^2}=1$, то эллипс растягивается так как мне надо. Да и по напряжениям вроде подходит

[Munin]

Ваша идея грубо ошибочна. Вся. Целиком. Ищите другой способ расчёта для прямоугольника. И в углах напряжения максимальны.

[follow_the_sun]

Munin

Munin в сообщении #1376037 писал(а):

И в углах напряжения максимальны.

Почему? В учебнике написано, что они обращаются в ноль в углах, а вблизи углов равны нулю.

[Munin]

Ну почему-почему, по дифуру.

[alex55555]

follow_the_sun в сообщении #1376038 писал(а):

Munin

Munin в сообщении #1376037 писал(а):

И в углах напряжения максимальны.

Почему? В учебнике написано, что они обращаются в ноль в углах, а вблизи углов равны нулю.

Растяжение максимально на максимальном удалении от центра. Если напряжения нет, то две точки максимально разойдутся именно на максимальном радиусе. Хотя тело твёрдое и в игру вступает внутренний объём, поэтому тоже не уверен - нужно интегралы считать для доказательства. Я не считал.

[follow_the_sun]

Munin

Munin в сообщении #1376042 писал(а):

Ну почему-почему, по дифуру.

Видимо это какой-то диффур из теории упругости, которую я не изучал. На фото: Феодосьев "Сопротивление материалов" 2003

[Munin]

follow_the_sun
Вас не смущает слово "касательные" в словосочетании "касательные напряжения"?

[follow_the_sun]

Munin
А я ведь знал, что наш спор -терминологический).
Да, это мой косяк. В нашем курсе рассматриваются только касательные напряжения и по умолчанию при кручении напряжения=касательные напряжения. С этим уточнением идея все еще грубо ошибочна?

[Munin]

Извините, спора никакого не было, а ваш косяк - смысловой. Если бы вы понимали, как устроены напряжения, вы бы знали, что при кручении напряжения продольные - нормальные к сечению (у вас ещё и терминологии нормальной нет, но я в ваших терминах объясню).

follow_the_sun в сообщении #1376053 писал(а):

С этим уточнением идея все еще грубо ошибочна?

С этим уточнением идеи вообще уже никакой нет.