Геометрическая интерпретация комплексного угла

[bayak]

Казалось бы, нет ничего проще - берёшь две плоскости (евклидову и псевдоевклидову) помещаешь их на комплексную плоскость и поворот на комплексный угол готов. Почему же этот метод так плохо известен? Впрочем, может быть, я просто мало читаю математической литературы и на самом деле это хорошо известный приём.

Далее было добавлено пояснение:

Имелось в виду, что на комплексной плоскости $\mathbb{C}$ задан гиперболический поворот $z'=x' + \mathrm{i}y' = \mathrm{e}^{\psi}x + \mathrm{i}\mathrm{e}^{-\psi}y$ и евклидов поворот $z'=x' + \mathrm{i}y' = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}(x + \mathrm{i}y)$. Что касается геометрической интерпретации математического маятника, то там самое интересное это геометрическая интерпретация комплексного времени (комплексного значения эллиптического интеграла).

Если этого мало, то попробую пояснить на примере синуса комплексного угла.

По отдельности в геометрической иллюстрации синуса гиперболического и обычного угла используется проекция единичного вектора псевдоевклидовой и евклидовой плоскости на соответствующую ось координат. Но я никогда не видел рисунка, совмещающего две эти проекции. Хотя, казалось бы, нет ничего проще - достаточно совместить оси координат ортонормированного базиса евклидовой плоскости с изотропными прямыми псевдоевклидовой плоскости.

Если и этого не достаточно для понимания сути вопроса, то не знаю что и добавить.

[Munin]

Да, хорошо известный.

[bayak]

Значит и геометрическая интерпретация математического маятника это хорошо известный приём? Что-то я нигде не встречал соответствующих ему рисунков.

[arseniiv]

Munin, а что тут имеется в виду, если вы поняли?

[Munin]

Я так понял, изометрии плоскости $\mathbb{C}^2.$

[arseniiv]

Хм, однако. А где там комплексный угол?

Не совпало с обеими мыслями, которые были у меня. Первую я думал предлагать вместо — это $\mathrm O(n,\mathbb C)$, и можно подставить в формулу матрицы поворота в какой-то плоскости комплексный угол и ничего не испортить — но пользы от этого будет маловато, потому что унитарность для комплексных пространств как минимум сильно полезнее. Вторая — это то, что, видимо, имел в виду ТС, но что пришло на ум не сразу: вот у нас есть евклидова плоскость $A$ с однопараметрической $\mathrm O(A)$ («вещественные углы») и псевдоевклидова плоскость $B$ с однопараметрической же $\mathrm O(B)$ («мнимые углы»), и типа взять $A\oplus B$, но $\mathrm O(A\oplus B)$ отнюдь не изоморфна $\mathrm O(A)\times\mathrm O(B)$ (наверно этого бы хотелось, если говорить о комплексном угле?), она большая и некоммутативная (и мы все даже знаем, кто она конкретно такая).

-- Пт фев 01, 2019 17:23:29 --

А если банально взять $\mathrm U(2)$ или даже $\mathrm{SU}(2)$, так её элемент одним комплексным числом не задать. В общем никаких углов поворота не получается.

[bayak]

Имелось в виду, что на комплексной плоскости $\mathbb{C}$ задан гиперболический поворот $z'=x' + \mathrm{i}y' = \mathrm{e}^{\psi}x + \mathrm{i}\mathrm{e}^{-\psi}y$ и евклидов поворот $z'=x' + \mathrm{i}y' = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}(x + \mathrm{i}y)$. Что касается геометрической интерпретации математического маятника, то там самое интересное это геометрическая интерпретация комплексного времени (комплексного значения эллиптического интеграла).

[arseniiv]

bayak в сообщении #1373449 писал(а):

Имелось в виду, что на комплексной плоскости $\mathbb{C}$ задан гиперболический поворот $z'=x' + \mathrm{i}y' = \mathrm{e}^{\psi}x + \mathrm{i}\mathrm{e}^{-\psi}y$ и евклидов поворот $z'=x' + \mathrm{i}y' = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}(x + \mathrm{i}y)$.

Тогда это уже не комплексная плоскость. Комплексный угол поворота в этом тоже не видно.

[bayak]

Плоскость или прямая это вопрос вторичный, а комплексный угол поворота там есть. Точнее он появится если его использовать как аргумент тригонометрической (показательной) функции.

[arseniiv]

Мда, когда же вы поймёте, что на таком уровне строгости дела в математике не делаются (и в физике тоже)… (Просто если вы вот банально начнёте аккуратно смотреть, что вы там настроили, вы увидите все несоответствия и дыры. Серьёзно.)

[timots]

bayak
Мне кажется, Вы путаете углы с периодичностью. Это период в комплексной плоскости будет или действительным или мнимым.
Угол или $\pi$ только действительным.

[bayak]

Комплексный угол не есть нечто новое и я его понимаю в традиционном смысле.

[Munin]

Munin в сообщении #1373364 писал(а):

Я так понял, изометрии плоскости $\mathbb{C}^2.$

В таком случае, я ошибся. Никакого комплексного угла там нет. И $\mathrm{U}(2),$ и $\mathrm{SU}(2)$ - компактные группы (вторая - сфера $S^3,$ а первая - её произведение на окружность $S^3\times S^1$).

arseniiv в сообщении #1373373 писал(а):

Не совпало с обеими мыслями, которые были у меня. Первую я думал предлагать вместо — это $\mathrm O(n,\mathbb C)$, и можно подставить в формулу матрицы поворота в какой-то плоскости комплексный угол и ничего не испортить — но пользы от этого будет маловато, потому что унитарность для комплексных пространств как минимум сильно полезнее.

Пожалуй, наиболее конструктивная мысль. Как видите, я до неё дошёл сильно позже :-) Подозреваю, ТС тоже имел в виду именно это, или точнее, пытался иметь в виду. Впрочем, может быть, он двух перечисленных вами вариантов просто не смог различить.

[bayak]

Munin в сообщении #1373606 писал(а):

Munin в сообщении #1373364 писал(а):

Я так понял, изометрии плоскости $\mathbb{C}^2.$

В таком случае, я ошибся. Никакого комплексного угла там нет. И $\mathrm{U}(2),$ и $\mathrm{SU}(2)$ - компактные группы (вторая - сфера $S^3,$ а первая - её произведение на окружность $S^3\times S^1$).

Вы правы, здесь получается некомпактная группа, поскольку произвольная последовательность гиперболических поворотов (эквиаффинных сжатий/ растяжений) и евклидовых поворотов порождает некомпактную группу $SL(2,\mathbb{R})$.

[Modest]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Отсутствует предмет обсуждения, сформулированный на математическом языке. Постарайтесь сформулировать предмет и вопросы максимально конкретно, чтобы отвечающим не приходилось угадывать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.